Правильность элементарных программ

Если верифицируемая программа P является ациклической, то доказательство может быть проведено непосредственным построением [P] по E-схеме и сравнением [P] с заданной функцией f.

Если P является циклической, то при доказательстве правильности вначале необходимо установить неизбежность ее окончания.

Условимся, что если P заканчивается для , то некоторый предикат (обозначим его fin(f,P)) принимает значение «истина».

Верификацию циклических программ типа

while-do

do-until

do-while-do

можно свести к доказательству их окончания и к доказательству правильности ациклических рекурсивных программ.

Лемма о сведении итерационных программ к рекурсивным

Пусть даны функции f, g, h и предикат p. Тогда справедливы 3 случая:

1. while-do

(f=[ while p do g od]) (fin(f, while p do g od )^f=[ if p then g; f fi ])

2. do-until

(f=[ do g until p od ]) (fin(f, do g until p od)^f=[g; if ¬p then f fi])

3. do-while-do

(f=[ do1 g while p do2 h od ]) (fin(f, do1 g while p do2 h od)^f=[g; if p then h; f fi])

Методика верификации циклических программ типа while-do, do-until, do-while-do

1. Формулируется гипотеза о программной функции (в частном случае гипотеза может быть задана).

2. На основе субъективного анализа программы устанавливается истинность условия ограничения: fin(f,P)=true.

3. С использованием леммы о рекурсивном представлении программа приводится к рекурсивной форме.

4. С помощью трассировочных таблиц строится программная функция рекурсивной программы.

5. Проводится сравнение полученной функции с гипотезой и делается вывод о правильности программы.

Трассировочные таблицы

Они предназначены для формальной записи вывода программных функций.

Номер операторов	Операторы программы	Элемент данных

Трассировочные таблицы позволяют путем систематического исключения всех промежуточных значений индексов, начиная с конечных значений, вывести функцию программы.

Пример 1.

P=( if x 0 then x:=x-y

else y:=y-x fi;

if y 0 then y:=x+y

else x:=y-x fi)

[P]=?

В программе есть 4 пути от входа к выходу. Поэтому строим 4 трассировочные таблицы.

№	Операторы Предикаты	Значение предикатов	Данные
			X	Y
1	x 0	(x0 0)=true	x1=x0	y1=y0
2	x:=x-y		x2=x1-y1	y2=y1
3	0	(y2 0)=true	x3=x2	y3=y2
4	y:=x+y		x4=x3	y4=x3+y3

Их таблицы выводим программную функцию для выбранного пути

- предикат пути

(x₀ 0)^ (y₂ 0)= (x₀ 0)^ (y₁ 0)= (x₀ 0)^ (y₀ 0)=True

- данные

x₄=x₃=x₂=x₁-y₁=x₀-y₀

y₄=x₃+y₃= x₂+y₂= x₁-y₁+y₁=x₀

- функция

(x 0)^ (y 0)→x,y:=x-y,x

№	Операторы Предикаты	Значение предикатов	Данные
			X	Y
1	x 0	(x0 0)=false	x1=x0	y1=y0
2	y:=y-x		x2=x1	y2=y1-x1
3	0	(y2 0)=true	x3=x2	y3=y2
4	y:=x+y		x4=x3	y4=x3+y3

Вывод программной функции:

- предикат пути

(x₀ 0)^ (y₂ 0)= (x₀ 0)^ ((y₁-x₁) 0)= (x₀ 0)^ (y₀ x₀)=True

- данные

x₄=x₃=x₂=x₁=x₀

y₄=x₃+y₃= x₂+y₂= x₁+y₁-x₁=y₀

- функция

(x 0)^ (y x)→x,y:=x,y

Аналогично выводится программные функции для двух других путей.

Объединяя функции путей, получаем функцию программы:

[P]=(((x 0)^(y 0)→x,y:=x-y,x)|((x 0)^(y x)→x,y:=x,y)|((x 0)^(y 0)→x,y:=2y-x,y)| ((x 0)^ (y x)→x,y:=y-2x,y-x))

Пример 2

Дана функция f=(k n→x:=x∙k∙(k+1)∙…∙n=( k n→x:=x∙ )), где k и n – целые.

Для выполнения f составлена программа P

P=( while k n do x:=x∙k;

k:=k+1 od)

Доказываем правильность P

1. Гипотеза о программной функции в данном случае задана

2. Если начальное значение k: k>n, то P завершается сразу; k n, то в ходе итераций k:=k+1 и станет k>n, т.е. P завершится. Следовательно, fin(f,P) = истина.

3. Используем лемму для записи P в рекурсивной форме:

P'=(if k n then x:=x∙k;

k:=k+1;

(k n→x:=x∙ ) fi)

Для рекурсивной формы программы P' выводим программную функцию. Строим трассировочную таблицу.

№	Операторы Предикаты	Значение предикатов	Данные
			X	K
1	k n	(k0 n)=true	x1=x0	k1=k0
2	x:=x∙k		x2=x1∙k1	k2=k1
3	k:=k+1		x3=x2	k3=k2+1
4	k n	(k3 n)=true	x4=x3	k4=k3
5	x:=x∙		x5:=x4∙	k5=k4

Вывод функции для выбранного пути:

-предикат

(k₀ n)^(k₃ n)= (k₀ n)^(k₂+1 n)=…= (k₀ n)^(k₀+1 n)= (k₀ n-1)=True

-данные

x₅=x₄∙ = …=x₂∙ = x₁∙k₁∙ = x₀∙k₀∙ =x₀∙

-функция

(k n-1)→ x:=x∙

№	Операторы Предикаты	Значение предикатов	Данные
			X	K
1	k n	(k0 n)=true	x1=x0	k1=k0
2	x:=x∙k		x2=x1∙k1	k2=k1
3	k:=k+1		x3=x2	k3=k2+1
4	k n	(k3 n)=false	x4=x3	k4=k3

Вывод функции для выбранного пути:

-предикат

(k₀ n)^(k₃ n)= (k₀ n)^(k₂+1 n)=…= (k₀ n)^(k₀+1 n)= (k₀=n)=True

-данные

x₄=x₃=x₂=x₁∙k₁=x₀∙k₀=x₀∙n

-функция

((k=n)→ x:=x∙n)= ((k=n)→ x:=x∙ )

№	Операторы Предикаты	Значение предикатов	Данные
			X	K
1	k n	(k0 n)=false	x1=x0	k1=k0

Вывод функции для выбранного пути:

-предикат

(k₀ n)=True

-данные

x₁=x₀

-функция

(k>n)→ x:=x

Объединяем функции путей, получаем функцию программы

[P’]=((k n-1)→x:=x∙ ) ((k=n)→x:=x∙ ) ((k>n)→x:=x)=(k n)→ x:=x∙ =f

Отсюда следует, что составленная программа обладает полной правильностью.