2.1.1. Вхідний потік вимог
Для визначення вхідного потоку вимог потрібно зазначити моменти часу їх надходження до системи (закон надходження) і кількість вимог, які можуть надійти одночасно. Закон надходження може бути детермінованим (наприклад, вимога або вимоги надходять до системи у фіксовані моменти часу) або ймовірнісним (проміжки часу між моментами надходження вимог до системи мають рівномірний, експоненціальний або інший заданий закон розподілу).
У загальному випадку вхідний потік вимог описується розподілом імовірностей проміжків часу між моментами надходження до системи двох сусідніх вимог. Здебільшого припускається, що ці проміжки часу є незалежними і мають однаковий розподіл випадкових величин і, таким чином, вимоги утворюють стаціонарний вхідний потік. У класичній теорії масового обслуговування, як правило, розглядається так званий пуассонівський (найпростіший) потік вимог, в якому кількість вимог k для будь-якого проміжку часу t має розподіл Пуассона:
|
(2.1) |
де — інтенсивність потоку вимог (кількість вимог, які надійшли до системи за одиницю часу).
Існує кілька теорем теорії ймовірностей, за допомогою яких можна довести, що більшість потоків вимог є пуассонівськими. Це, зокрема, теореми про суперпозицію незалежних потоків малої інтенсивності, розрідження випадкового потоку та ін. На практиці вважають, що вхідний потік має розподіл Пуассона, якщо за визначений проміжок часу вимоги надходять до системи від великої кількості незалежних джерел. Прикладами таких потоків можуть бути дзвінки абонентів у телефонній мережі або запити до централізованої бази даних від користувачів комп'ютерної мережі.
Для задания вхідного потоку вимог, крім закону розподілу, потрібно визначати кількість вимог, які надходять до системи одночасно. Вимоги можуть надходити до системи по одній або групами, наприклад у метро або до стадіону через вхідні турнікети одночасно можуть зайти кілька чоловік. Системи, до яких вимоги надходять пакетами (більше ніж з однією вимогою), будемо називати системами з груповим потоком вимог.
Кількість вимог, які надходять до системи від якогось джерела (під час моделювання це джерело відтворює генератор вимог), може бути необмеженою або обмеженою. Прикладом системи з обмеженою кількістю вимог є система з відмовами та відновленням (ремонтом) обладнання виробничої дільниці, де в разі відмови обладнання подається вимога на ремонт обладнання до бригади ремонтників. Якщо в такій системі є М одиниць обладнання, то максимально можлива кількість вимог у системі дорівнюватиме М.
Прикладом системи з необмеженою кількістю вимог може бути телефонна мережа, кількість абонентів якої визначити практично неможливо. Якщо кількість вимог безмежна і вони незалежні, то це свідчить про те, що вхідний потік вимог є пуассонівським.
Моделювання пуассонівського потоку
Покажемо, як під час моделювання систем масового обслуговування можна задати пуассонівський потік вимог. Для цього розглянемо найпростіший потік з інтенсивністю і позначимо моменти надходження вимог на осі (0, t), як показано на рис. 2.1. Визначимо, який розподіл мають проміжки часу T між моментами надходження двох сусідніх вимог.
Очевидно, що проміжки часу Т – випадкові величини. Знайдемо закон їх розподілу. Функція розподілу F(t) визначає ймовірність того, що випадкова величина Т набуде значення, яке менше за t, тобто
Рис. 2.1. Моменти надходження вимог для пуассонівського потоку
Нехай t0 — початок проміжку часу Т. Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Т буде меншою за t. Для цього потрібно, щоб на проміжок довжиною t, який починається з точки t0, потрапила хоча б одна вимога. Обчислимо функцію F(t) через імовірність протилежної події, тобто через імовірність Р0 того, що за проміжок часу t до системи не надійде жодної вимоги:
Значення ймовірності P0 знайдемо за формулою (2.1) за умови, що t 0:
Тоді функція розподілу випадкової величини Т матиме вигляд:
Щоб знайти функцію щільності розподілу f(t) випадкової величини Т, продиференціюємо функцію F(t) за t:
Це і є функція щільності показникового або експоненціального закону розподілу. Її графік і графік функції розподілу за умови = 1 зображено на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Графіки функцій щільності (а) та розподілу (б) експоненціального закону: = 1; р = 0.5
Отже, щоб отримати пуассонівский потік вхідних вимог, які надходять до системи, достатньо обчислити випадкову величину з експоненціальним розподілом.
Властивості пуассонівського потоку
У теорії масового обслуговування найпростіший потік відіграє таку ж роль, як нормальний закон розподілу випадкових величин у теорії ймовірностей. Випадковий потік вимог, який за своїми характеристиками наближений до найпростішого, утворюється в разі додавання випадкових потоків.
Основними властивостями найпростішого потоку вимог є:
стаціонарність;
відсутність післядії;
ординарність.
Потік є стаціонарним, якщо ймовірність надходження певної кількості вимог за деякий проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку і параметра , і не залежить від місця розташування проміжка на осі часу (рис. 2.3). Відрізки часу не повинні перетинатися.
Рис. 2.3. Відображення стаціонарного потоку вимог
У потоці відсутня післядія, якщо ймовірність надходження визначеної кількості вимог за деякий проміжок часу не залежить від кількості вимог, які надійшли до системи, тобто не залежить від передісторії. Те, що проміжки часу не перетинаються, свідчить про взаємну незалежність протікання процесів у часі.
Потік є ординарним, якщо в один і той самий момент часу неможливе надходження двох або більше вимог.
Пуассонівський потік вимог є окремим випадком більш загального потоку Ерланга. Потік Ерланга r-го порядку можна отримати шляхом просіювання пуассонівського потоку (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Потік Ерланга r-го порядку
На рисунку видно, що для того щоб отримати потік Ерланга r-го порядку, досить підсумувати r випадкових експоненціально розподілених величин.