Діалогові методи

Діалогові методи належать до групи найгнучкіших методів пошуку розв’язків багатокритерійних задач. Характерна їх риса – участь децидента в процесі розв’язування, що дає змогу скорегувати перебіг процесу розв’язування та врахувати деякі неформальні аспекти.

Розглянемо ілюстративний приклад використання додаткової інформації від децидента для знаходження оптимального розв’язку двокритерійної задачі.

Приклад 4.9. Потрібно знайти оптимальний розв'язок наступної двокритерійної задачі:

Спочатку визначимо межі зміни значень критеріїв у критерійному просторі. Для цього розв’яжемо дві однокритерійні задачі оптимізації за кожним із критеріїв окремо та, підставивши відповідні оптимальні значення змінних, визначимо іншу координату в просторі критеріїв. Спочатку розглянемо першу задачу

Отримаємо результат

тобто координати оптимальної точки і оптимальне значення критерію . Підставимо координати у вираз для другого критерію і одержимо значення .

Потім розв’яжемо задачу оптимізації за другим критерієм:

Отримаємо результат

координати оптимальної точки та оптимальне значення критерію , а також значення .

Отже, одержано дві граничні точки множини Парето-оптимальних розв’язків у просторі критеріїв – та (рис. 4.14, а).

Рис. 4.14. Приклад діалогового розв'язання двокритерійної задачі

Візьмемо середину відрізка – точку

і розв’яжемо задачу . Підставивши координати оптимальної точки в просторі змінних у вирази для критеріїв, отримаємо координати середньої точки .

Ці дії виконуються без втручання децидента. Йому надають графічне зображення (рис. 4.14) або числову інформацію з координатами трьох точок в області критеріїв, що відповідають початковому інтервалу зміни значення критерію Q₁ (точок А та В), середині цього інтервалу – точку С, і ставлять запитання: у якому напрямку від середньої точки потрібно рухатися вздовж осі критерію Q₁? Децидент у прикладі вирішив поліпшити значення першого критерію, погіршивши значення другого. Тому інтервал пошуку зменшено вдвічі: тепер він простягається від точки С до точки В. На наступній ітерації (рис. 4.14, б) процедура повторюється. Тепер напрямок руху визначають відносно точки D. Децидент вирішив дещо поступитися значенням першого критерію, щоб поліпшити значення другого. Інтервал пошуку зменшено; він простягається від точки С до точки D.

Отже, інтервал пошуку звужується залежно від відповіді децидента. Шукають координати середньої точки та повторюють процедуру опитування. Її припиняють тоді, коли децидент зупинить свій вибір на одній із трьох точок або довжина інтервалу пошуку дорівнюватиме заданій точності. У цьому прикладі на кожному кроці звужується область оптимальних за Парето розв'язків, і потрібна мінімальна інформація від децидента У більшості методів багатокритерійної оптимізації використано цю ідею покрокового звуження області Парето.

Доволі поширеним є алгоритм, запропонований А.Джофріоном і модифікований багатьма дослідниками, що грунтується на принципі корисності. У ньому використано ідеї добре відомого з нелінійного програмування градієнтного методу. Цей алгоритм базується на припущенні Джофріона про те, що хоча функція корисності, яка є ввігнутою, невідома, децидент може для довільного допустимого значення векторного критерію вказати граничні значення коефіцієнтів заміщення. Ці значення отримуються безпосередньо від децидента шляхом опитування – яким значенням зміни одного з критеріїв можна скомпенсувати зміну іншого критерію (зазвичай один з критеріїв обирається як базовий, і для інших значення отримують шляхом порівняння з базовим, враховуючи, звичайно ж, координати поточної точки).

Граничні коефіцієнти заміщення й визначають градієнт функції корисності в конкретній точці простору критеріїв із точністю до додатних коефіцієнтів, тобто напрямок «найкрутішого підйому» функції корисності. Оскільки на межі, заданій множиною оптимальних за Парето розв’язків, це може дати значення критеріїв, яким не відповідають допустимі альтернативи, то за допомогою методів нелінійного програмування визначається напрямок е, для якого похідна функції корисності максимальна за умови, що це не призводить до недопустимих розв’язків.

На кожному кроці визначають новий допустимий вектор

,

де  – довжина кроку, зазначена децидентом.

У результаті такого ітеративного процесу отримують послідовність точок, у якій значення корисності зростають і яка за умови виконання сформульованих припущень збігається до оптимуму (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Приклад переміщення в просторі критеріїв за методом Джофріона

Звичайно, визначення напрямку руху за допомогою оцінювання граничних значень коефіцієнтів заміщення, а також довжини кроку в цьому напрямку висуває високі вимоги до здатностей децидента, тому що граничні коефіцієнти заміщення можуть бути взаємно залежними, що ще більше ускладнює процедуру одержання потрібної інформації від децидента.