Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Криворожский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chmi.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

10. Метод Рыбакова

Для дальнейшего нам понадобится теорема Лагранжа. Приведем(напомним) ее формулировку: Если функция f является непрерывной на замкнутом отрезке [a,b] и существует конечная производная на открытом отрезке(a,b),то обязательно найдется точка a<с<b такая, что будет выполняться равенство:

f(b)-f(a)=f (c)(b-a).

Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что найдется

касательная, параллельная прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Теорема. Если для функции f(x) существует конечная производная на отрезке, то для метода Рыбакова всегда будет выполняться неравенство

x_n < x, где f(x)=0. Другими словами x_n не “перепрыгнет” через корень х и, таким образом, последовательно будут найдены все корни.

Доказательство. Предположим что число x является корнем уравнения

f(x)=0 и выполняется неравенство x_n <x< x_n₊₁, . По теореме Лагранжа существует такая точка с, что a x_n<с<xb и выполняется равенство

|f(x)-f(x_n)|= |f (c) (x- x_n)|. Так как a<с<b, то значит и |f(c)|<M. Учтем, что f(x)=0 и x_n<x, а значит |(x- x_n)|= (x- x_n).

Поэтому справедливо неравенство:

|f(x_n)|= |f (c) | | (x- x_n)|=|f(c) |(x- x_n)<M(x- x_n). Так как M>0, то отсюда |f(x_n)|/M<(x- x_n) и окончательно получим x> x_n+|f(x_n)|/M =x_n₊₁.Таким образом пришли к противоречию x> x_n+1 с первоначальным предположением

x_n <x< x_n+1.

11. Метод Рыбакова. Алгоритм осуществляет поиск корней на заданном промежутке [a,b]. Чтобы условия сходимости были обеспечены на всем интервале, F'(xi) заменена некоторой константой M, которая выбирается из условия M ≥ | F'(x)|, a<x<b. Не следует задавать M с большим запасом, так как в этом случае поиск пойдет слишком медленно. Чтобы процесс не увязал в точках, где F(x)=0, в алгоритм вводится интервал различимости корней e (в программе задано e =10-3). Положить x=a. Пока x≤b, повторять: пока F(x)╧0, повторять: x=x+|F(x)|/M; отпечатать x; положить x=x+e. 10 INPUT "a",A,"b",B,"M",C 20 D=...f{A}...:A=A+ABS D/C:IF A>B THEN 10 30 IF C+D=C;PRINT A:A=A+1E-3 40 GOTO 20 Размер: 70+, D Пример: F(x)=sin(x-0,3)+0,2x; a=-1; b=1; M=1,2. В программе: MODE 5 20 D=SIN (A-.3)+.2*A: ... Ответ: x*=0,249982623.

12. В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений не известны прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно. Например, для системы из двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Поэтому итерационные методы для нелинейных систем приобретают особую актуальность.

Метод Ньютона.

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(23)

или в векторной форме

f (x) = 0,

(23 ')

где

f x

Для решения системы (23? ) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, известно k-е приближение

x⁽^k⁾=

одного из изолированных корней x= векторного уравнения (23 '). Тогда точный корень уравнения (23') можно представить в виде

х = x⁽^k⁾ + D x⁽^k⁾,

(24)

где D x⁽^k⁾ = - поправка (погрешность корня).

Подставляя выражение (24) в (23'), будем иметь

f (x⁽^k⁾ + D x⁽^k⁾) = 0.

(25)

Предполагая, что функция f (x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x⁽^k⁾, разложим левую часть уравнения (25) по степеням малого вектора D x⁽^k⁾ , ограничиваясь линейными членами,

f (x⁽^k⁾ + D x⁽^k⁾) = f (x⁽^k⁾) + f ? (x⁽^k⁾) D x⁽^k⁾= 0

(26)

или, в развернутом виде,

(26')

Из формул (26) и (26') вытекает, что под производной f '(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f₁, f₂, ..., f_nотносительно переменных x₁, x₂, ..., x_n, т. е.

f ' (x) = W(x) = ,

или в краткой записи

f ' (x) = W(x) = (i, j = 1, 2, …, n).

Поэтому формула (26) может быть записана в следующем виде:

f (x⁽^k⁾ ) + W (x⁽^k⁾ ) D x⁽^k⁾ = 0

Если det W (х) = , то D x⁽^k⁾ = - W ^-1(x⁽^k⁾) f (x⁽^k⁾).

Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы (23) состоит в построении итерационной последовательности:

x⁽^{k
+ 1}⁾ = x⁽^k⁾ - W ^-1(x⁽^k⁾) f (x⁽^k⁾) (k = 0, 1, 2, …).

(27)

Если все поправки становятся достаточно малыми, счет прекращается. Иначе новые значения x_i используются как приближенные значения корней, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что получить его не удастся.

Пример 9. Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы уравнений