12. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, определение и свойства.

 Случайная   величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (– ; a), [b;), (–; ).

Непрерывной называют с.в., которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывнойс.в. бесконечно.

Величина X называется непрерывной случайной величиной, если вероятность попадания ее значения в любой интервал (x₁,x₂) может быть представлена в виде интеграла

          

Функцией распределения с.в. Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что с.в. Х примет значение меньше х, т.е. F(x) = P (X <x).

Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функции распределения - неубывающая функция.

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р(а < X < b) = F(b) – F(а).

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то F(x)=0 при х ≤ а; F(x) = 1 при х ≥ b.

5. Справедливы следующие предельные отношения: .

13. Плотность распределения непрерывной с.В., определение и свойства. Вычисление математического ожидания и дисперсии непрерывной с.В.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с. в.X называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения вероятностей F(x). f(x)=F’(x)

Т. о., функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: Следовательно, зная плотность распределения вероятности f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция: f(x)≥0. 2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от  -∞  до +∞ равен единице:

.Вероятностный смысл плотности распределения вероятности. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу  , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно  ) произведению плотности распределения вероятности в точке на длину интервала  : .

Математическим ожиданием непрерывной с.в.X, возможные значения которой принадлежат отрезку[a, b], называют определенный интеграл Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует).

Дисперсией непрерывной с.в. называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные непрерывной случайной величины X принадлежат отрезку [a,b],то

. Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует).

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии: .