Ответ №3 Вероятность суммы двух случайных событий.

Несовместные события.

Существует две формулы суммы двух случайных событий – когда они совместны и когда они несовместны.

Когда они совместны:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р (А •В)

Когда несовместны:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Вероятность события А+В определяется отношением меры области|A+B|, составленной из двух подобластей А и В, к мере всей области G. Мера двух областей А и В равна сумме мер каждой области: |A+B| = |A|+|B|. Поэтому вероятность события А+В также равна сумме вероятностей двух событий:P(A+B)=|A+B|÷|G| = |A|÷|G| + |B|÷|G| = P(A) + P(B).

Ответ №4 Условная вероятность события. Формула умножения вероятностей.

Независимые события.

Формула умножения вероятностей:

События А , В Е называются независимыми, если Р ( А • В ) = Р ( А ) · Р ( В ) .

В противном случае события А и В называются зависимыми.

Ответ №5 Формула полной вероятности.

Применяется для определения вероятности ещё не наступившего события.

Н₁, Н₂ ,…, Н_n – гипотеза. Гипотезы – события, совершённые до основного события.

Н_i • H_j = Ø – две противоположные гипотезы.

Н₁ + Н₂ +…+ Н_n = Ω

Р(Н₁)+Р(Н₂)+…+Р(Н_n) = 1

6. Формула Байеса.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез

По теореме умножения вероятностей откуда .

7.Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.

Если производитсяс несколько испытаний, причем вероятность событияА в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событиеА может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Наступление событияА обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи q=1-P(A)=(1-p), p – успех. Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событиеА наступит k раз и не наступит n-kраз, по теореме умножения вероятностей независимых событий, равна p^kq^n-k.

Таких сложных испытаний может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. C^k_n. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз событияА в испытаниях n) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число: