1. Задачи, приводящие к обыкновенным ду, основные определения
Математические модели в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой.
Задачи, приводящие к обыкновенным ДУ:
1) Закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением dm/dt = – k · m, где k > 0 – коэффициент пропорциональности, m (t) – масса радия в момент t;
2) Зависимость массы x вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени t во многих случаях описывается уравнением dx/dt = k · x, где k – коэффициент пропорциональности;
3) «Закон охлаждения тел», т.е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени, описывается уравнением
dT/dt = k (T – t0), где T (t) – температура тела в момент времени t, k – коэффициент пропорциональности, t0 – температура воздуха (среды охлаждения).
4) И многие др.
2. Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ду 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин
Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где P (x; y) и Q (x; y) – известные функции, удовлетворяющего заданному начальному условию y (x0) = y0 или y | x = x0 = y0, называется задачей Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши: если в уравнении y’ = f (x; y) функция f (x; y) и ее частная производная f ’y (x; y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x0; y0), то существует единственное решение y = φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x0) = y0 или y | x = x0 = y0.
ДУ первого порядка y’ = f (x; y), разрешенное относительно производной, устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x; y) и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y’ = f (x; y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить y’ = c, т.е. f (x; y) = c.
3. ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные ДУ 1-го порядка
Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида
P (x) · dx + Q (y) · dy = 0.
В нем одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
P
(x)
· dx
+
Q
(y)
· dy
= c
– его общий интеграл.
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид: P1 (x) · Q1 (y) · dx + P2 (x) · Q2 (y) · dy = 0. Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от x, другая – только от y.
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.
Дифференциальное уравнение y’ = f (x; y) называется однородным, если функция f (x; y) есть однородная функция нулевого порядка.
Функция f (x; y) называется однородной функцией n-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λn, т.е.
f (λ · x; λ · y) = λn · f (x; y).
Однородное ДУ можно записать в виде y’ = φ (y/x).
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P (x; y) · dx + Q (x; y) · dy = 0.
ДУ будет однородным, если P (x; y) и Q (x; y) – однородные функции одинакового порядка.