24. Уравнение Вольтерры II-го рода. Тсе решения. Метод последовательных приближений.

Пусть функция ограничена и интегрируема в квадрате , а функция .Соотношение называются интегральным уравнением Вольтерры II-го рода. При этом называется ядром интегрального урав-

нения или ядром интегрального оператора, а число – параметром. В случае, когда функция правой части , любое из этих уравнений называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Теорема ТСЕ: Рассмотрим уравнение Вольтерры II-го рода: (11). Пусть , а непрерывна в треугольнике .Тогда существует и притом единственное решение уравнения (11), это решение непрерывно и может быть получено методом последовательных приближений.

Док: Построим функциональную последовательность по формулам: .(16). Представим в виде частичной суммы ряда: (17). В силу непрерывности функций и найдутся числа M и F такие, что: , . Тогда модуль общего члена ряда оценивается так: , , , ..., . Итак

общий член ряда мажорируется общим членом числового ряда

числовой ряд является сходящимся: . По признаку Вейерштрасса, это означает, что функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на .Обозначим его сумму через . Поскольку члены ряда – непрерывные на функции, то из равномерной сходимости следует, что сумма ряда . Убедимся, что – решение (11). Так как ряд (а значит, и последовательность (16)) сходится равномерно на , то его (её) можно интегрировать почленно, и в равенстве (16) можно перейти к пределу при . Получим: , то есть – решение(11). Теперь проверим, что других решений нет. Пусть – тоже решение (11). Обозначим , . Проведём последовательные оценки для ­ , учитывая, что она является решением однородного уравнения . , , ..., , Поскольку , отсюда , имеем что либо X = 0 и единственность доказана, либо X > 0 и тогда на него можно поделить: . Однако правая часть стремится к нулю при , и такое неравенство при всех невозможно. Следовательно, данный случай исключён. Итак, X = 0; ­; и единственность также доказана.

. Уравнение Фредгольма II-го рода. Резольвента

Пусть функция ограничена и интегрируема в квадрате , а функция .Соотношение называются интегральным уравнением Фредгольма II-го рода. При этом называется ядром интегрального урав-

нения или ядром интегрального оператора, а число – параметром. В случае, когда функция правой части , любое из этих уравнений называется однородным, в противном случае – неоднородным. Соотношение рассматриваемое в некотором метрическом пространстве, называются операторным уравнением Фредгольма II-го рода, Числа , при которых однородное уравнение имеет нетривиальное решение, называются характеристическими числами оператора A, а всё множество таких называется спектром оператора A.

Резольвента: Обозначим через A интегральный оператор Фредгольма: . Выведем аналогичное представление для степеней этого оператора: = = = = , = = = = , и так дале. Таким образом (30), где , . Теперь в силу теоремы при оператор обратим и , и для решения интегрального уравнения Фредгольма II-го рода получаем новое представление: (32). Учитывая (30), равенство (32) переписывается в виде: (33). Этот ряд сходится равномерно на , что доказывается как в теореме о ТСЕ и методе последовательных приближений (билет 24), поэтому в нём можно менять местами интегрирование и суммирование: . Если обозначить ряд через : (34). То для решения (33) уравенения (9) имеем представление: . Функция , заданная формулой (34), называется резольвентой или разрешающим ядром интегрального уравнения Фредгольма IIго рода. Итак, , при .