16. Ряд Фурье в Гильбертовом пространстве. Равенство Парсеваля

Гильбертовым пространством называется бесконечномерное пространство со скалярным произведением. Точнее, пространство H – гильбертово, если H – линейное пространство со скалярным произведением (билет 2). H полно в смысле метрики , т.е. любая фундаментальная( ) последовательность элементов H сходится к элементу H; H бесконечномерно, т.е. в нём найдётся n линейно независимых элементов.

Гильбертово пространство H называется сепарабельным если в нём существует счётное всюду плотное множество. Другими словами, пространство H – сепарабельно, если в нём суще-

ствует счётный базис – система элементов такая, что любой элемент можно (и притом единственным образом) представить в виде ряда (разложить по базису): .Ряд Фурье: Пусть H – гильбертово пространство. Система элементов H называется полной, если для любого элемента существует разложение по этой системе, т.е.

найдутся такие коэффициенты , что , при .

Рядом Фурье для элемента по ортогональной системе называется ряд

, где , числа называются коэффициентами ряда Фурье

Теорема Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство, а – полная ортонормированная система (ПОНС) элементов H. Элементу его сопоставлен ряд Фурье с коэффициентами .Тогда справедливо равенство Парсеваля:

док: Поскольку система – полна в H, то по определению полной системы найдутся

такие коэффициенты , что , при .

С другой стороны в силу Минимизируещего свойства ряда Фурье (билет 15)

, отсюда следует, что , при .

Тогда из равенства = получаем, что , при .

или иначе при . Но это и означает, что ряд сходится, и справедливо равенство Пар-севаля .

17. Ряд Фурье в Гильбертовом пространстве.Неравенство Бесселя. Связь с равенством Парсеваля

Гильбертовым пространством называется бесконечномерное пространство со скалярным произведением. Точнее, пространство H – гильбертово, если H – линейное пространство со скалярным произведением (билет 2). H полно в смысле метрики , т.е. любая фундаментальная( ) последовательность элементов H сходится к элементу H; H бесконечномерно, т.е. в нём найдётся n линейно независимых элементов.

Гильбертово пространство H называется сепарабельным если в нём существует счётное всюду плотное множество. Другими словами, пространство H – сепарабельно, если в нём суще-

ствует счётный базис – система элементов такая, что любой элемент можно (и притом единственным образом) представить в виде ряда (разложить по базису): .Ряд Фурье: Пусть H – гильбертово пространство. Система элементов H называется полной, если для любого элемента существует разложение по этой системе, т.е.

найдутся такие коэффициенты , что , при .

Рядом Фурье для элемента по ортогональной системе называется ряд

, где , числа называются коэффициентами ряда Фурье.

Теорема Пусть H – гильбертово пространство, а – ортонормированная система (ОНС) элементов H. Элементу его сопоставлен ряд Фурье с коэффициентами .

Тогда ряд сходится, и справедливо неравенство Бесселя: .

док: Из равенства = + при и получаем: , откуда, в силу неотрицательности , следует , Здесь n произвольно, а правая часть не зависит от n, следовательно, ряд сходится, и переходя к пределу при , получаем неравенство Бесселя.