13. Теорема Гильберта
Пусть
и
– заданные функции,
,
,
и однородная (т.е. при
)
задача (1) –(3) не имеет других решений,
кроме тождественного нуля. Тогда для
любой функций
существует и притом единственное решение
краевой задачи (1) – (3):
(1)
(2)
(3)
При этом
справедлива формула:
,
где
-функция
Грина задачи (1)-(3)
док:
Существование решения Пользуясь
явным видом
построенной нами функции Грина и введя
для краткости обозначения:
,
.
Запишем
и тогда z(x)
примет вид:
=
=
+
=
+
=
+
.
Тогда
=
+
+
-
=
+
=
+
.Тогда
=
+
+
-
=[подставим
c(x)]=
+
+
=
+
+
=
+
+
.
Убедимся,
что
-решение
уравнения (1):
.
+
-
=
+
+
+
+
-
+
=
+
+
.Проверим
выполнение КУ на левом конце: При
,
Откуда
.Краевое
условие на правом конце проверяется
аналогично. Существование решения,
заданного равенством (6), доказано.
Единственность:
Пусть
и
–
два решения краевой задачи (1) – (3). Тогда
их разность
удовлетворяет
однородной задаче:
Но
по условию теориемы у такой задачи есть
только тривиальное решение, те
,
а значит
.
Замечание 1. 1. Из теоремы 1. 1 и теоремы 1. 3 моментально следует, что
при выполнении условий и , функция Грина краевой задачи существует тогда и только тогда, когда однородная краевая задача имеет только тривиальное
решение.
14. Симметричность функции Грина
Пусть
существует функция Грина
краевой
за-
дачи (1) – (3).
(1)
(2)
(3)
Тогда
справедливо
равенство
док: По формуле
убедимся, что множитель
.
В самом деле, по формуле Остроградского-Лиувилля,
Вронскиан двух решений
и
уравнения
равен
выражению:
.В
нашем случае однородного уравнения (1)
старшие
коэффициенты имеют вид,
,
,
и мы получаем
,
откуда
,
в частности,
.
Тогда формула
принимает вид
поменяв
x и t местами получаем
что
совпадает с
Мы рассматривали только функции Грина для уравнения
. Однако, точно такое же определение можно дать
и для уравнения
и даже для уравнения n-го порядка
с n линейно независимыми краевыми условиями.
При этом сохранятся все свойства функции Грина, кроме симметрично-
сти.
15. Ряд Фурье в Гильбертовом пространстве. Минимизируещее свойство коэффициентов Фурье.
Гильбертовым
пространством называется бесконечномерное
пространство со скалярным произведением.
Точнее, пространство H – гильбертово,
если H – линейное пространство со
скалярным произведением (билет 2). H полно
в смысле метрики
,
т.е. любая фундаментальная(
)
последовательность элементов H сходится
к элементу H; H бесконечномерно, т.е. в
нём
найдётся
n линейно независимых элементов.
Гильбертово пространство H называется сепарабельным если в нём существует счётное всюду плотное множество. Другими словами, пространство H – сепарабельно, если в нём суще-
ствует счётный
базис – система элементов
такая, что любой элемент
можно
(и притом единственным образом) представить
в виде ряда (разложить по базису):
.Ряд
Фурье: Пусть H – гильбертово пространство.
Система
элементов H называется полной, если
для любого элемента
существует разложение по этой системе,
т.е.
найдутся
такие коэффициенты
,
что
,
при
.
Рядом Фурье для элемента по ортогональной системе называется ряд
,
где
,
числа
называются
коэффициентами ряда Фурье
Теорема
Пусть H – гильбертово пространство,
а
–
ортогональная система элементов H.
Элементу
его
сопоставлен ряд Фурье с коэффициентами
.
Тогда
набора коэффициентов
и
справедливо неравенство
.
док: Оценим
:
=
=
-
+
=
+
=
+
=
+
.
Итак
=
+
.
Первое и второе слагаемые правой части
от набора коэффициентов
никак
не зависят, поэтому исследуем последнее:
.
Эта
сумма всегда
неотрицательна и обращается в нуль
тогда и только тогда, когда
Таким образом,
минимального значения разность
достигает
при совпадении
с коэффициентами Фурье для элемента f.
Замечание Данная теорема называется
теоремой «о минимизирующем свойстве
коэффициентов Фурье» и означает, что
если нам нужен ряд по ортогональной
системе функций
,
дающий наилучшее приближение к f, то
наилучшим кандидатом является ряд
Фурье, так как именно его частичная
сумма ближе любых других линейных
комбинаций
к
элементу f.