32. Функционалы, приращения, вариации
Опр
Функционалом
в линейном нормированном пространстве
E называется закон соответствия, по
которому каждому элементу y некоторого
множества
ставится
в соответствие число:
(1).
При этом D называется областью определения
,
а выражение y – аргументом функционала
f. Пример Функционалами в n-мерном
евклидовом пространстве
являются, например, такие отображения:
,поскольку
все они ставят в соответствие каждому
вектору какое-то число. Пример
Функционалами в пространстве непрерывных
функций
являются
следующие отображения:
.
поскольку все они ставят в соответствие
каждой функции
некоторое
число. Функционал
в
линейном пространстве E называется
линейным, если он имеет на своей области определения свойства линейности:
Опр
Приращением (вариацией)
аргумента
y функционала
называется
произвольный элемент
такой,
что
.
Приращением
функционала
в
«точке»
называется разность
.
Пример В пространстве
для
линейных функционалов:
имеем:
приращение
аргумента:
-любой
вектор
из
приращение
функционала в точке
:
=
=
=
;
=
=
=
;
=
=
.
Аналогично, в пространстве непрерывных
функций
для
линейных функционалов
имеем:
приращение
аргумента:
–
любая непрерывная функция
приращение
функционала в «точке»
:
=
=
=
;
=
=
33. Дифференцируемые функционалы. Связь определений дифференцируемости по Фреше и по Гато.
Опр. Пусть
приращение (необязательно линейного)
функционала
в
«точке»
можно представить в виде:
(2),
где
–
некоторый функционал, линейный по
второму аргументу, а
,
при
.В
случае, когда такое представление
возможно, функционал называется
дифференцируемым в «точке»
по Фреше. Вариацией функционала
в
«точке»
называется
главная линейная часть приращения
функционала:
(3).
Вариация любого линейного функционала
опр Функционал
называется дифференцируемым в «точке»
по Гат`о, если
.
Вариацией функционала
в
«точке»
называется
предел:
(4).
Теорема(О связи двух определений вариации).Если существует вариация функционала в смысле определения 6. 4, то существует вариация функционала в смысле определения 6. 5, и эти вариации совпадают.
34. Основная лемма вариационного исчисления
Введём
обозначение:
Теорема
(Основная лемма вариационного исчисления).
Пусть
и
,
.
Тогда
на
.
Док:
Предположим противное: в некоторой
точке
функция
.
Пусть, для определённости
.
Тогда по свойству непрерывной
функции
сохраняет
знак в некоторой окрестности точки c:
.
Выберем f(x) следующим образом:
. Эта функция непрерывна на
,
обращается в нуль на концах этого отрезка
(т.е. принадлежит классу
)и
при этом отлична от нуля (и положительна)
только на том интервале
на
котором положительна
.
Для так построенной функции
:
.
Но по условию теоремы, этот интеграл
должен быть равен нулю. Полученное
противоречие показывает, что наше
предположение
было
неверным. Замечание Основная лемма
вариационного исчисления останется
справедливой
также и в том случае, если пространство
заменить
на
,
с произвольным
.Можно
также требовать от функций из этих
классов, чтобы они удовлетворяли любым
однородным краевым условиям.