30. Первые интегралы системы оду. Критерий первого интеграла.
(1),
.
Первым интегралом системы (1) будем
называть функцию
такую, что:
ни
в какой подобласти области D.Для любого решения
системы
(1)
Иногда первым
интегралом называют не функцию
,
а соотношение
;
это бывает удобно при практическом
решении систем.
Теорема 2
(критерий первого интеграла): Пусть
дана автономная система (1). Пусть
функция
такова, что
ни в какой подобласти области D. Тогда
справедливо утверждение:
-первый
интеграл системы (1) тогда и только тогда,
когда
.
Док: Пусть
– произвольное решение системы (1). Тогда
=
=
.(2)
Если
– первый интеграл системы (1), то
и левая часть равенства (2) равна нулю.
Следовательно, обращается в нуль и
правая часть (2). Если же
, то обращается в нуль и левая часть
(2):
, а значит
на
любом решении
системы (1), откуда следует, что
– первый интеграл системы (1). Следствие.
– первый интеграл системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (1) тогда и
только тогда, когда
– решение следующего линейного уравнения
в частных производных первого порядка:
.(3)
Теорема
Пусть
-первые
интегралы системы (1). Пусть
–
функция класса
.
Рассмотрим сложную функцию
.
Пусть
ни
в какой подобласти области D. Тогда
–
тоже первый интеграл системы (1).
Доказательство. Поскольку
-первые
интегралы системы(1), то на любом решении
системы (1) они обращаются в константы:
.
Тогда и
=
=
что по определению и означает, что
– первый интеграл системы (1) Следствие.
Система (1) в окрестности любой точки
имеет бесконечно много первых интегралов.
31.Уравнение в частных производных 1-го порядка. Связь общего решения с первыми интегралами характеристической системы. Следствия этой связи.
Пусть D –
ограниченная область в
,
.
Опр. Однородным линейным уравнением
в частных производных первого порядка
называется уравнение:
,
(1).
Здесь
-
искомая функция,
-заданные
функции. Неоднородным линейным уравнением в частных про-
изводных
первого порядка называется
уравнение
;
(1')
,
в
D;
-также
заданная функция. В данном параграфе
мы рассмотрим однородное уравнение (1)
при условии, что
.Решением
уравнения (1) называется функция
обращающая
это уравнение в верное равенство
.
Сопоставим уравнению (1) автономную
систему ОДУ вида
(2).
Система (2) называется характеристической
системой для уравнения в частных
производных (1), а ее фазовые траектории
-характеристиками.
Теорема(T) Функция является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда – первый интеграл системы (2) или .
док: Данная теорема является всего лишь перефразированным следствием из критерия первого интеграла (билет 30), если это следствие рассматривать с точки зрения не системы, а УЧП. Из свойств первых интегралов, доказанных в предыдущей главе, вытекает, на основании доказанной теоремы , следующее свойство решени уравнения (1).
Следствие: Если функции являются решениями уравнения (1), а -функция класса от своих аргументов, то -также является решением уравнения (1). Док: Данная теорема является непосредственным следствием следствия критерия первого интеграла (билет 30).
Следствие:
В окрестности любой точки
существует (n-1) независимых решений
уравнения
(1), а общее решение этого уравнения
задается формулой:
(3),
где
–
функция класса
.
док: В
силу условия
в
каждой точке области D, каждая точка
не
является точкой покоя характеристической
системы (2), а тогда утверждение теоремы
вытекает из теоремы о существовании
системы из (n-1) независимого первого
интеграла. и теоремы о зависимости
от
.
Теорема: Любое решение уравнения (1) тождественно равно константе на любой характеристике.
Док: Если решение уравнения (1), то в силу теоремы (T) - первый интеграл системы (2) (или ). Но в силу определения первого интеграла на любом решении
системы (2), т.е. на любой характеристике.