3.Билет

Односторонние пределы

Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число  такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  . или

Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции  в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число  , такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  . или

Предел на бесконечности.

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A: 

4. Билет

Определение:Функция   непрерывна в точке  , если для любого  существует   такое, что для любого

Свойства:

Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .

Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .

Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке .

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва  котангенс и косеканс — 

Непрерывность сложной функции

Теорема . Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

5.Билет

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Эквивалентность:

6.Билет

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

8.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Дифференцируемость функции, ее связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Линеаризация функции.

Рассмотрим функцию y=f(x), заданную в окрестности точки х₀.

Определение 17.1. Если существует конечный предел , то он называется производной функции f в точке х₀.

Обозначение: .

Разность называется приращением аргумента, а - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .

Геометрический смысл производной.

у Рассмотрим график функции у=f(x) и проведем

В секущую через точки А с абсциссой х₀ и В с

абсциссой х₀+Δх. Если обозначить разность

ординат этих точек Δу, то тангенс угла α, образо-

А ванного секущей с осью Ох, можно представить

так: . ЕслиΔх→0, точка В переме-

щается по кривой, приближаясь к точке А, и

α₀ α х₀ х секущая при совпадении точек В и А превра-

щается в касательную к графику функции,

образующую с осью Ох угол α₀. При этом Следовательно, значение производной при данном значении х равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.

Механический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: s=f(t). Среднюю скорость за время Δt можно определить по формуле:

. Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени устремим Δt к нулю. Получим: Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответственно производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом х.

Уравнение касательной к графику функции.

Составим уравнение касательной к графику функции y = f(x) при х = х₀. Эта прямая должна проходить через точку с координатами (х₀,у₀), лежащую на графике функции, где у₀ = f(x₀), и иметь угловой коэффициент, равный производной f(x) при х = х₀. Воспользовавшись уравнением (7.9), получим: у = f`(x<sub>0</sub>)х + b, причем у<sub>0</sub> = f`(x₀)x₀ + b, то есть b = y₀ - f`(x₀)x₀. Тогда уравнение касательной можно записать в виде:

или