19. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена (постановка краевых задач конвективного теплообмена)

Из уравнения следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Для нахождения полей температур (энтальпий), скоростей и определить , необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии. Выведем дифференциальное уравнение, Описывающее температурное поле в движущейся жидкости. Допущения те же, что и для теплопроводности.

Вывод уравнения энергии уже рассматривался и было получено уравнение:

Проекции q на координатные оси составляют:

; ;

Отсюда:

Для несжимаемых жидкостей ( ) и если ,

(2)

Это уравнение является искомым уравнением энергии, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости.

Левая часть – это полная производная температуры по времени

Следовательно:

Если , то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

При стационарных процессах . Следовательно, температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости .

Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциальные уравнения движения.

Уравнения движения Навье-Стокса. Без вывода:

Для оси x:

Для оси y:

Для оси z:

Или - уравнение движения без учета зависимости физических параметров жидкости от температуры.

Уравнение движения с учетом зависимости физических свойств от температуры:

(3)

Так как в уравнение входит еще р, то система уравнений не является замкнутой. Необходимо добавить еще одно уравнение. Таким уравнением является дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).

Уравнение сплошности:

- для сжимаемых жидкостей

Для несжимаемых жидкостей, полагая , получаем

(4) или

Таким образом, процесс конвективного теплообмена в несжимаемой однородной среде с постоянными физическими параметрами описывается системой дифференциальных уравнений 1, 2, 3, 4.

Чтобы выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, к системе дифференциальных уравнений нужно присоединить условия однозначности.

Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку краевой задачи.

20. Приведение математической формулировки краевой задачи к записи в безразмерных переменных

Пусть поверхность омывается несжимаемой жидко­стью с и . Размер тела . Температура поверхности тела равна . Для определенности примем, что Физические парамет­ры жидкости постоянны. Теплота трения не учитывается. Рассматриваемый процесс явля­ется стационарным.

Учтем дополнительную подъемную силу , считая ее соизмеримой с вязкостным членом .

- температура жидкости.

Уравнение энергии:

Уравнение движения:

Уравнение сплошности:

Граничные условия:

1) вдали от тела

; ; ;

2) на поверхности тела

;

Для приведения к безразмерному виду выберем масштаб приведения:

, , .

Тогда безразмерные величины:

; ; ; тогда

Преобразуем уравнение энергии:

В результате подстановки равенств после умножения левой и правой частей уравнения энергии на будем иметь:

Аналогично для уравнения движения:

Для последнего члена:

Окончательно:

Для уравнения сплошности:

Граничные условия:

1. вдали от тела (Y= )

2. на поверхности тела ( )

При известном температурном поле может быть определен по уравнению

Приведя к безразмерному виду, получим:

Используя введенные обозначения, систему безразмерных дифференциальных уравнений можно записать в следующем виде:

- независимые переменные: X, Y;

- зависимые переменные: ;

- постоянные величины: .

уравнения подобия

, - соответствует поверхности теплоотдачи (степени). Нахождение для точек пространства не лежащих на поверхности не имеет смысла. В рассматриваемом случае .

Или .

При расчетные поля температур и скоростей будут подобны, если аналогичны и условия однозначности, при этом .

Числа кап. жидкостей сильно зависит от температуры, причем для большинства жидкостей эта зависимость аналогична зависимости , т. к. и зависят от температуры в меньшей степени. При увеличении температуры редко уменьшается.

газов практически не зависит от температуры и давления данного газа и является величиной постоянной.

Pr жидких металлов (тяжелых и щелочных), применяемых в качестве теплоносителей, изменяется в пределах . Это объясняется высокой теплопроводностью.

- жидкие металлы;

- неметаллические кап. жидкости при больших температурах и газы

- неметаллические кап. жидкости