2. Дифференциальное уравнение теплопроводности.

При решении задач, связанных с нахождением температурного поля необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.

Следующие допущения:

- тело однородно и изотропно;

- физические параметры постоянны;

- деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является малой величиной по сравнению с самим объемом;

- внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно;

В основу вывода положен закон сохранения энергии, который может быть сформулирован следующим образом:

количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем из вне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников равна изменению внутренней энергии или энтальпии вещества ( в зависимости от рассматриваемого изохорного или изобарного процессов) содержащегося в элементарном объеме:

-изменение U или I (1)

- количество теплоты, которое подводится к граням за время ( )

- количество теплоты, которое отводится через противоположные грани.

- проекция плотности теплового потока на направление нормали к граням dy, dz.

Разность подведенной и отведенной

(2)

является непрерывной в рассматриваемом интервале и может быть разложена в ряд Тейлора:

Если ограничится двумя членами ряда, то (2) запишем

Аналогично для и

Количество теплоты, подведенное теплопроводностью к рассматриваемому объему будет:

(3)

Обозначим - мощность внутреннего источника теплоты, в единицу времени.

Третья составляющая в уравнении (1) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение внутренней энергии вещества, то есть dQ = dU

Если рассматривать U=U(t, ) то

(5)

-изохорная теплоемкость единицы массы (Дж/кг.К)

Подставляя (3),(4),(5) в (1) получим дифф. уравнение теплопроводности для изохорного процесса переноса теплоты:

Это диф. у-ние тепловодности для изохорического подвода теплоты

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота идет на изменение I

Если , то

или после подстановки

В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье

, разность и мала и

Подставляя, получим:

д.у. теплопроводности устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры.

Если принять теплофизические характеристики постоянными, то

и

- оператор Лапласа в декартовой системе координат

В цилиндрических координатах

r- радиус вектор; полный угол; - аппликата

В общем виде дифференциальное уравнение теплопроводности запишется:

a- характеризует скорость изменения температуры и является мерой теплоинерционных свойств тела

будет тем больше, чем больше a.

Если система не содержит внутренний источник , то

При стационарном режиме: и дифференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение Пуассона:

И если =0 то будет уравнение Лапласа: