24.Последоваетльность. Предел последовательности. Число е.

Определение: Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x_n, тогда говорим, что задана числовая последовательность (x_n). Числовые последователдьности записывают также (x_n)=x₁ ,x₂ ,x₃….

x_n – называют n-ным или общим членом последовательности.

Определение. Число называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n.

Если при нахождении пределов получается , то оно наз. неопределённостью. Для нахождения таких пределов требуется раскрыть неопределённость. Последовательности, имеющие конечный предел наз. сходящимися.

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Необходимое условие сходимости даёт: если последовательность (x_n) сходится, то она ограничена.

Достаточное условие сходимости даёт: если последовательность (x_n) ограничена и монотонна, то она сходится.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

x_na; x_nb; ab.

Тогда по определению существует такое число >0, что

Запишем выражение:

А т.к. - любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если x_na, то .

Доказательство. Из x_na следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если x_na, то последовательность {x_n} ограничена .Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

_{Например, последовательность} не имеет предела, хотя

_{Число е- нерациональное, е ≈ 2,7. В математике число е играет важную роль. Логарифмы по основанию е наз. натуральными.}

25. Предел функции в точке. Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного.

Функция f(x) имеет предел A в точке Xo , предельной для области определения функции f(x) , если для каждой окрестности предела A существует проколотая окрестность точки Xo , образ которой при отображении f(x) является подмножеством заданной окрестности точки A.

Говорят, что число b – есть предел ф-ции f(x)при х->а, то limf(x) {x->a} = b.

Свойства пределов функции:

1) Предел постоянной величины: предел постоянной величины равен самой постоянной величине

2) Предел суммы: Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функции Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций. Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину: постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения: предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

5)Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: