17.Прямая на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0 или А(х-х₀)+ В(у-у₀)=0

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Заметим, что ненулевой вектор параллельной прямой наз. направляющим.

Вектор, перпендикулярный прямой наз. нормальным вектором прямой.

Пусть М (х₀;у₀) € l, тогда ǁ => (х-х₀ ; у-у₀) ǁ (m;n) =>

– каноническое уравнение прямой ;

– уравнение прямой, проход. через 2 точки;

d – расстояние от точки до прямой ;

у= kx+b – уравнение прямой по угловому коэффиценту ;

– уравнение прямой в отрезках по осям ;

Взаимное расположение прямых на плоскости:

l₁: A₁x+B₁y+C₁=0

l₂:A₂x+B₂y+C₂=0

l₁ ǁ l₂:A₁:A₂=B₁:B₂ ,k₁=k₂ , ǁ , l_{1 ┴} l₂:

A₁A₂+B₁B₂=0, k₁= - ,

(

18.Плоскость в пространстве.

1.Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 ( ).

Вектор перпендикулярный данной плоскости наз. нормальным вектором этой плоскости. В частности, вектор - нормальный вектор данной плоскости.

Частные случаи : а) если D=0, то Ax+By+Cz=0. Она проходит через начало координат; б)если А=0, то By+Cz+D=0, плоскость параллельна оси Ox; в)при В=0, то Ax+Cz+D=0 параллельна Оy; г)при С=0, то п+By+D=0 параллельна оси Оz; е)если А=0, В=0 то Сz+D=0 параллельна плоскости Oxy, если А=0, С=0 то By+D=0 параллельна плоскости Oxz, если В=0 и С=0, то Ax+D=0 параллельна плоскости Оуz.

2.Уравнение плоскости, проход-ей через точку перпенд-ую вектору n=(A,B,C) -

3.Уравнение плоскости в нормальном виде: ,где α,β,γ – углы между осямиOx,Oy,Oz и перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, р– длина этого перпендикуляра.

4.Уравнение плоскости в отрезках на оси: , где a,b,c–величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

5.Уравнение плоскости по трем точкам : (M(x,y,z) – произвольная точка плоскости) или в координатной форме :

19.Прямая в пространстве.

1)Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку паралельно вектору =(m;n;p):

2)Параметрические уравнения прямой:

где t–переменный параметр.

3)две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x_2, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

4)Общее уравнение прямой:

Направляющий вектор прямой находится по формуле:

, или

Взаимное расположение двух прямых:

l2:

l1:

(^.)M₁(x₁;y₁;z₁), (^.)M₂(x₂;y₂;z₂)

(m₁;n₁;p₁) (m₂;n₂;p₂) < φ

20.Взаимное расположение прямой и плоскости.

1. Острый угол между прямой L: и плоскостью Р: Ax+By+Cz + D =0 определяется по формуле sin = , где =(A,B,C)-нормальный вектор плоскости, =(m,n,p)-направляющий вектор прямой, или по формуле sin =

2.Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид = 0 или Аm + Вn+Сp = 0.

3.Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид \\ или

Условие, при котором прямая L лежит в плоскости Р:

Если Аm + Вn+Сp 0, то прямая пересекает плоскость; если Аm + Вn+Сp = 0 и -прямая параллельна плоскости.