10.Понятие вектора. Линейные операции над векторами,св-ва.

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Линейными операциями над векторами называется сложение,вычитание и умножение на число.

Суммой векторов является вектор - .Суммой неск-их векторов и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.

Разностью векторов и наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором даст вектор .

Произведение вектора на число λ=R называется вектор, обозначаемый λ , модуль которого равен , а направление совпадает с направление вектора , если λ , и противоположно ему, если λ .

Вектор сонаправлен с вектором (  ), если  > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором (  ), если  < 0.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) () = ( ) – ассоциативность

6) (+) =  +  - дистрибутивность

7) ( + ) =  + 

8) 1 =

11.Векторное пространство. Примеры.

Мн-во М наз. векторным (линейным) пространством, а его эл-ты векторами, если:

I. Задан закон (операция сложения) по кот. кажд. паре векторов , € M сопоставляется единственный вектор из М, наз. их суммой и обозн. + ;

II. Задан закон (операция умножения на число) по кот. каждому вектору € М и числу α € R ставится в соответствие единственный вектор, наз. произведение вектора на число и обознач. .

III. Для любых векторов , , € M и любых α, β € М справедливы след. равенства:

1. + = + ;

2. ( + )+ = +( + );

3. Существует такой элемент М, что + = + = ;

4. Существует эл-т –х € М ,что – + = +(- )= ;

5. ( + ) = + ;

6. ( + )= + ;

7. (αβ) =α(β );

8. 1*

– наз. нулевым, а вектор – – противоположным

Пример1. Множество всех m*n матриц, по отношению к операциям сложения матриц и умножения матриц на число явл. векторным пространством.

Пример2. Множество всех векторов на плоскости (в пространстве) с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число явл. векторным пространством.

12.Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства.

Линейная зависимость векторов.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно _i , т.е. .

Если же только при _i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойства:

Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Любые 4 вектора линейно зависимы.

Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.