30. Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая , к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая X=a является вертикальной асимптотой графики функции y=f(x) , если , по крайней мере , один из односторонних пределов в точке .x=a равен бесконечности т.е.

или

Прямаяy=k1x+b1 является наклонной асимптотой при x->+∞ если существуют оба предела

и b1=

Аналогично, если существуют пределы

K1= и b1=

То прямаяy=k2x+b2 является наклонной асимптотой приx->-∞

Если k=0 и существует , то получаем горизонтальную асимптоту y=bкак частный случай наклонной.

Если вертикальных асимптот может быть любое число , то наклонных асимптот не может быть более 2-ух.

31. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции

Рассматриваем функцию y=f(x) на отрезке [a;b]. Своё наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм решения задач:

1. Находим f’(x)

2. Находим критические точки функции, решая уравнение f’(x)=0

3. Находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку

4. Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

33.Частные производные.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина _xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

34. Полный дифференциал ф-ции нескольких переменных

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х,у).

Для функции произвольного числа переменных:

35. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

(u’_x(p₀); u’_y(p₀);u’_z(p₀)) будет нормальным к поверхности u(x;y;z)=0 в точке р₀. Поэтому уравнение плоскости к поверхности в точке р₀ имеет вид: u’_x (p₀)∙(x-x₀)+u’_y(p₀)∙(y-y₀)+u’_z(p₀)∙(z-z₀)=0

Уравнение нормали к поверхности:

Если поверхность задана в явном виде z=f(x;y), то в неявном виде ее ур-ние можно записать f(x;y)-z=0, т.е. u=(f(x;y)-z) значит вектор нормали будет (f’_x(x₀;y₀)-0; f’_y(x₀;y₀)-0; 0-1 ).

36. Экстремумы фнп. Наибольшее и наименьшее значение фнп

Опр.1 Точка (х₀;у₀) назыв. т. max(min) z=f(x;y), если найдётся такая окрестность этой точки, что для любой (х;у) принадлежитO_r(x₀;y₀). f(x;y)<f(x₀;y₀), f(x;y)>f (x₀;y₀)

Точки max(min) назыв. экстремумами f(x;y), а значения функции в этих точках соответственно max(min) и экстремумом применимо обозначение maxf(x;y)=f (x₀;y₀), O_r(x₀;y₀)

T.1 P₀(х₀;у₀)z=f(x;y) имеет экстремум, то обе частные производные f‘_x(x₀;y₀)= f‘_y(x₀;y₀)=0 или хотя бы одна из них не сущ.

Д-во: рассмотрим в окрестности Р₀ функции f (x;y₀) это функция 1-ой перем. Х и она имеет в точке х₀- экстремум. По теореме Ферма f‘_x(x₀;y₀)=0 или не сущ. Аналогично показывается что f‘_у(x₀;y₀) или не сущ.

Опр 2. Точки в которых все частные произв. = 0 наз. Стационарными, а точки которых все частные производные = 0 или хотя бы одна из них не сущ. – критические точки.

Т2 (Достаточное условие наличия экстремума) Пусть Р₀(x₀;y₀) стационарная точка функции f(x;y) и Н(Р₀)= |z”_xx(P₀) z”_xy(P₀)|, тогда если

| z”_yx(P₀)z”_yy(P₀)|

1. Н(P₀)>0, z”_xx(P₀)>0, то Р₀- точкаmin

2. Н(P₀)>0, z”_xx(P₀)<0,то Р₀- точка max

3. Н(P₀)<0, P₀- нет экстремума

Д-во: замечание- если Н(Р₀) или z”_xx(P₀)=0, то Т2 применять нельзя

z=f(x₁; …;x_n)

Пусть функция определена инепрерывна в D. Тогда она достигает в Д своих наибольших и наименьших значений. Если наибольшее значение достигается внутри области Д, то это значение экстремум функции. Таким образом наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в критических точках либо на границах области. Поэтому для нахождения наиб.инаимен. значений функции, находят значения функции в критических точках наиб. и наим. Значение на границе области и выбираем среди полученных чисел наиб