- •1.Матрицы. Сложение матриц и умножение на число. Их свойства.
- •2. Умножение матриц, его свойства.
- •3.Определители 1-ого, 2-ого, 3-его порядка.
- •4.Миноры и алгебраические дополнения.
- •7.Системы ур-ний. Матричная запись системы ур-ний. Связь между решение матричного ур-ния и решением системы.
- •8.Формулы Крамера.
- •9.Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса
- •10.Понятие вектора. Линейные операции над векторами,св-ва.
- •11.Векторное пространство. Примеры.
- •12.Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства.
- •13.Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
- •14.Векторное произведение векторов
- •15.Смешанное произведение векторов.
- •16. Аффинные системы координат. Декартовы прямоугольные системы координат. Базис на плоскости и в пространстве.
- •17.Прямая на плоскости.
- •18.Плоскость в пространстве.
- •19.Прямая в пространстве.
- •20.Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Цилиндрические поверхности.
- •- Эллиптический цилиндр.
- •22.Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
- •23.Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы.
- •24.Последоваетльность. Предел последовательности. Число е.
- •25. Предел функции в точке. Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного.
- •21. Первый и второй замечательный предел.
- •22. Эквивалентность бесконечно малых функций
- •23.Непрерывность функции и классификация точек разрыва
- •24. Производная
- •25.Дифференциал функции
- •26.Теорема Ролля, Коши, Лагранжа.
- •27. Правило Лопиталя.
- •28.Условия возрастание и убывание функции.
- •29. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •30. Асимптоты
- •31. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции
- •33.Частные производные.
- •34. Полный дифференциал ф-ции нескольких переменных
- •35. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •36. Экстремумы фнп. Наибольшее и наименьшее значение фнп
- •1.Матрицы. Сложение матриц и умножение на число. Их свойства.
28.Условия возрастание и убывание функции.
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. возрастающие, так и убывающие функции, называются монотонными. Возрастание и убывание функции y = f{x) определяется знаком ее производной: если в некотором интервале f'(x) > 0, то функция возрастает, а если f'(x) < 0, то функция убывает в этом интервале.
Первое правило нахождения экстремумов функции f(x) (по первой производной):
Находим область определения функции D(f)•
Ищем первую производную функции f '(x).
Находим критические точки первой производной.
Определяем знак производной f '(x). слева и справа от критической точки, в которой функция непрерывна. Если знак изменяется с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум, если с минуса на плюс, то - минимум. Если же знак производной не изменяется, то в данной точке экстремума нет.
Второе правило нахождения точек экстремума (по второй производной):
Находим область определения функции D(f).
Ищем первую производную функции f '(x)
Находим точки, в которых f '(x) = 0, а функция f(х) непрерывна.
Ищем вторую производную f "(x)
Во вторую производную f "(x) подставляем каждое из значений, полученных в п. 3. Если f "(хо)>0; то в точке х0 функция имеет минимум, если f "(хо)<0, то - максимум. Если f ”(хо) = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым (можно воспользоваться первым правилом).
29. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Кривая называется выпуклом (вогнутой) в некотором промежутке , если она расположена ниже (выше) касательной , проведенной к кривой в любой точке этого промежутка . Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции у = f(x).Характеризуется знаком второй производной f“(x) > 0 , а именно: если в некотором промежутке f “(х)>О, то кривая вогнута, если f “(х)<0, то кривая выпуклав этом промежутке.Следовательно, нахождение промежутков выпуклости и вогнутости график функции у=… сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее второй производной f ‘’(х).
Точкой перегиба кривой называется такая ее точка , которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.
Точками перегиба графика функции y = f(х) могут быть только точки, в которых вторая производная изменяет свой знак.т.е. точки, находящиеся внутри области определения функцииf(x)в которых вторая производнаяf ‘’(х) обращается в нуль или терпит разрыв. Такие точки называются критическими точками второй производной.
Точками перегиба графика функции у= f(х) будут лишь те критические точки второй производной, при переходе через которые f ‘’(x) меняет знак.
Отсюда полу чаем правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции:
1)Находим область определении функцииD(f).
2) Ищем 2-ую производную функцииf f (x).
3) Определяем точки, вкоторых вторая производная f ‘’(x)оброщается в нуль или терпитразрыв (критические точки 2-ой производной)|4)Находим промежутки, на которые разбивают области определенияD(f) критические точки.5)Определяем знак f ‘’(x) на каждом из полученных промежутков: если f‘’(x)> о, то это промежуток вогнутости; если же f’’(x)< О, то это промежуток выпуклости.
6)Те из граничных точек промежутков, в которых функции f(x) непрерывна, а вторая производная f’’(x) изменяет свой знак при переходе через них, являются точками перегиба:
При нахождении интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба удобно результаты исследования записывать и таблицу изменения знаков второй производной.