1.Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности {An}, если для любого положительного числа E  существует такой номер N, зависящий от E , что для всех номеров n>=N  выполняется условие |An-A|<e . Обозначение:  или при . Определение. Последовательность, имеющая предел (из определения ясно, что A – конечно), называется сходящейся. Определение. Если  , то   называется бесконечно малой последовательностью. Определение. Последовательность{An}  называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M существует такой номер N, зависящий от M, что для всех номеров n>Nвыполняется условие |An|>=M В этом случае говорят, что предел {An}  равен бесконечности и обозначают  .Определение. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся. Очевидно, что бесконечно большая последовательность является расходящейся. 2.Критерий Коши: Последовательность сходится тогда и только тогда , когда (не используется само значение предела!)

3.  Если последовательности {x_n}, {y_n}, {z_n} таковы, что x_n ≤ y_n ≤ z_n для всех n ≥ N, и 

то последовательность {y_n} сходится, и 

Если     и для любого       то a ≥ b.

Любая неубывающая ограниченная сверху последовательность сходится.

Любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_n} и {y_n} называют соответственно последовательности {x_n + y_n}, {x_n – y_n}, {x_n ∙ y_n}, {x_n / y_n}. При определении частного предполагается, что y_n ≠ 0 при всех n.

4. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы. Пределы на бесконечности. Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

5. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Устранимые точки разрыва-Если предел функции существует, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке. если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода; если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

6. Функция, непрерывная в точке A, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

Если функция F непрерывна в точке A и F(A)>0  (илиF(A)<0 ), то F(x)>0  (или F(X)<0 ) для всех x, достаточно близких к A .

Если функции F и G  непрерывны в точке A, то функции F+G  и F*G  тоже непрерывны в точке A.

Если функции F и G  непрерывны в точке A и при этом G(A) не равно 0 , то функция F/G тоже непрерывна в точке A .

Если функция F непрерывна в точке A и функция G непрерывна в точке B=F(A) , то их композиция H=G0F  непрерывна в точке А

7. Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.-)Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.-)Областью значений функции F , непрерывной на отрезке [A,B] , является отрезок [minF,maxF], где минимум и максимум берутся по отрезку [A,B] .-)Если функция F  непрерывна на отрезке [A,B]   и F(A) *F(B)<0, то существует точка    в которой  .-)Если функция F  непрерывна на отрезке [A,B]   и число   удовлетворяет неравенству F(A)< <F(B) или неравенству F(A)> >F(B)    то существует точка   в которой  .-)Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.-)Монотонная функция на отрезке[A,B] непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами F(A)и F(B).-)Если функции F и G непрерывны на отрезке[A,B] причем   и   то существует точка   в которой   Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

8. Доказательство непрерывности функции

9.если не равен 0-одного порядка,=0-а более высокого порядка,равен бесконечности-низкого порядка,не существует-не сравнимы,если 1-то часный случай и они эквивалентны

11. Второй замечательный предел

 или  Доказательство второго замечательного предела:

  Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что  . Рассмотрим два случая: 1. Пусть  . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:  , где   — это целая часть x.Отсюда следует:  , поэтому .

Если  , то  . Поэтому, согласно пределу  , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов  .

2. Пусть  . Сделаем подстановку  , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что   для вещественного x.

13. Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

15. Вычисление производной функции  у = f(x)  производится по следующей схеме:  1) Находим приращение функции на отрезке   :  2) Делим приращение функции на приращение аргумента:  3) Находим предел     устремляя     к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака  lim:

17. Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что Если вещественная функция, непрерывная на отрезке   и дифференцируемая на интервале  , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Геометрический смысл: Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

19. (Второе следствие теоремы Лагранжа)Если для любого   значение производной больше 0, то эта функция возрастает на интервале  . (Если меньше 0 - убывает). Доказательство Пусть существуют   такие, что  . Функция   непрерывна на отрезке  , так как она дифференцируема на   и  . Тогда  , т.е. дифференцируема и на  . Значит, по теореме Лагранжа,  . Так как всегда  , то значение   непосредственно зависит от значения производной. То есть знак функции совпадает со знаком производной.

21..Локальной формулой Тейлора называется формула:

Пять основных разложений: -) ; -) ; -)

;-) ; -)

23 1. Функция одного переменного. Пусть х₀ – точка экстремума (максимума или минимума) функции у = f(x). Тогда в этой точке производная   равна нулю или не существует.2. Функция многих переменных. Пусть    равны нулю (i = 1, 2, …, n), либо хотя бы одна из них не существует.

В терминах 1 производной: 1.если   меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку  , т.е. существует   такое, что

, ,

то   – точка строго минимума функции f.

2. если   меняет знак с плюса на минус при переходе через точку   , то   - точка строгого максимума функции f.

В терминах 2 производной а) если  , то   – точка строгого минимума функции f(x);

б) если  , то   – точка строгого максимума функции f(x).

Если  , то по теореме о монотонности функции, функция   является возрастающей в точке  , т.е. существует   такое, что

=0, =0,

откуда следует, что   меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку  . Согласно Теореме 5 точка   – точка строгого минимума функции f(x). Аналогично рассматривается случай  .

25. Аси́мпто́та кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах. Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела .

Наклонная Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при  (или  ) не существует!

26. Компактные множества в R^n

Определение. Пусть A — некоторое множество. Функция удовлетворяющая условиям:

1) d(a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b; 2) d(a, b) + d(a, c) > d(b, c) для всех a, b, c A, — называется метрикой на A.

Множество A с определенной на нем метрикой называется метрическим пространством и обозначается (A, a) или просто M.

Второе свойство известно как неравенство треугольника.Если взять A = R и d(x, y) = |x – y| , то нетрудно видеть, что d_

метрика. Вообще возьмем A = Rn и определим d равенством:

где и x = (x1, x2 …, xn) и y = (y1, y2, …, yn).

Определение 1: Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М С помощью кванторов определение запишется следующим образом:М ∈ Ε – открытое, если    ∀ у∈М   ∃ ε>0 :  U_ε(y) < M

Простым языком – открытое множество состоит из внутренних точек. Примерами открытого множества являются пустое множество, прямая, интервал (а, b)

Определение 2: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример – отрезок [a, b] Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая). Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами. Теорема 1: Пусть множество А – открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством. Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В: В = Е\А Доказывать будем от противного. Предположим, что В – незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит – принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д. В кванторах доказательство можно записать короче: Предположим, что В – незамкнутое, тогда: (1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки) (2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества) Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В – замкнутое, ч. т. д.

Примеры компактных множеств

замкнутые и ограниченные множества в  конечные подмножества топологических пространств теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство   вещественных функций на метрическом компактном пространстве   с нормой  . Тогда замыкание множества функций   в   компактно тогда и только тогда, когда   равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. пространство Стоуна булевых алгебр компактификация топологического пространства

28. Предел функции нескольких переменных

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n)  Rⁿ , за исключением, быть может, самой точки a.Определение 1.Число A называется пределом функции f(x) в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n), если В пространстве R² предел функции f(x,y) в точке a(a₁, a₂) принято обозначать следующим образом: Замечания.

1. Определение предела функции n переменных в точности совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки a теперь не интервал (a − δ, a + δ), а n–мерный открытый шар (x₁ − a₁)² + (x₂ − a₂)² + … + (x_n − a_n)²   < δ².

2. Если a — граничная точка области определения D(f) функции f, то определение предела уточняется следующим образом (аналогично понятию одностороннего предела функции одной переменной): ε >0    δ_ε > 0:   x  O_δ(a) ∩ D(f)  |f(x) − A|<ε.

3. Теорема 1. Пусть функции n переменных f(x) и g(x), определены в области D  Rⁿ и для некоторой точки 

Тогда

Теорема доказывается так же, как для функции одной переменной.Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке a, если Определения и теоремы о бесконечно малых функций одной переменной справедливы для бесконечно малых функций нескольких переменных.

29. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n)  Rⁿ (включая саму точку a).Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

Обозначим приращения аргументов символами Δx₁ = x₁ − a₁, Δx₂ = x₂ − a₂,  …, Δx_n = x_n − a_n. Соответствующее приращение функции u=f(x)

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,   … ,  an + Δxn) − f(a1,  a2,  … ,  an).

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению Δx = {Δx₁, Δx₂,  …, Δx_n}.Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

Приращение

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1, a2,  … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δx_k аргумента x_k.Определение 2. Функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) называется непрерывной в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) по переменной x_k , если Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x₁, x₂,  … , x_n .Обратное утверждение неверно. Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D  Rⁿ и непрерывны в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n)  D . Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a

Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций. Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена. Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте): Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве. Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений. Равномерная непрерывность — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения. Равномерная непрерывность числовых функций Числовая функция вещественного переменного   равномерно непрерывна, если З десь важно, что выбор   зависит только от величины  .Свойства непрерывных функций. Теорема 1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.  Доказательство. Пусть функции     и     непрерывны в точке  a. Тогда Согласно свойству пределов функций существование пределов функций     и     гарантирует существование предела их суммы. При этом что и требовалось доказать.  Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.  Доказательство. Каждую пару непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. Затем каждую пару полученных непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. В конечном итоге останется одна непрерывная функция. Теорема 2. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная. Свойство. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.  Теорема 3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.  Доказательство теорем 2 и 3 по своей сути не отличается от доказательства теоремы 1 и предоставляется читателю. Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения. Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа  a  из области определения элементарной функции  f(x)  выполняется условие Продемонстрируем справедливость теоремы на некоторых конкретных примерах.Пусть   , где  n  – целое положительное число. Тогда   Первый член в правой части этого равенства представляет собой бесконечно малую функцию при  x → a  и, следовательно, Покажем, что показательная функция    является непрерывной в каждой точке  a. Действительно,    

Теорема 5. Пусть функция     непрерывна на промежутке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда на этом промежутке существует такая точка  c, в которой   . Действительно, непрерывность функции на некотором промежутке означает отсутствие скачков функции на этом промежутке. Другими словами,     принимает все значения, заключенные между ее минимальным и максимальным значениями на промежутке [a,b], одним из которых является нулевое значение. Отметим, что теорема 5 лежит в основе численных методов решения уравнений.

30. Дифференцируемость функций многих переменных.

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.Функция   переменных   является дифференцируемой в точке   своей области определения  , если для любой точки   существуют такие константы  , что

где  .

В этой записи функция

является дифференциалом функции   в точке  , а числа   являются частными производными функции   в точке  , то есть

где   — вектор, все компоненты которого, кроме  -ой, равны нулю, а  -ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных  , равную   при   и   при  . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.