Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение тройного интеграла.

2. Каковы основные свойства тройного интеграла?

3. Как производится вычисление тройного интеграла?

4. Какой интеграл называется трёхкратным?

5. Чем трёхкратный интеграл отличается от тройного?

6. Как находятся пределы интегрирования в трёхкратном интеграле?

7. Какие координаты называются цилиндрическими?

8. Как выглядят формулы перехода к цилиндрическим координатам?

9. Когда удобно переходить к цилиндрическим координатам?

10. Как с помощью тройного интеграла вычислить объём тела, массу тела; определить координаты центра масс тела?

Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы бывают двух видов: 1 рода (по длине дуги) и 2 рода (по координатам). Рассмотрим более подробно криволинейный интеграл 2 рода.

Определение. Криволинейным интегралом 2 рода от функции по кривой по переменной называют предел интегральной суммы при стремлении шага разбиения кривой к нулю, если данный предел существует, т.е.

,

где - непрерывная кривая в пространстве , а - произвольная функция, определённая на этой кривой в направлении от точки к точке .

Аналогичным образом для функций , заданных на кривой , можно определить криволинейные интегралы по этой кривой в направлении от точки к точке , а именно, , если эти пределы существуют.

Сумму криволинейных интегралов называют обобщённым криволинейным интегралом 2 рода и обозначают

.

Теорема. Достаточные условия существования криволинейного интеграла 2 рода.

Если кривая - кусочно-гладкая, а функции непрерывны на кривой , то криволинейные интегралы , а, следовательно, и криволинейный интеграл существуют.

Свойства криволинейных интегралов 2 рода

1. .

2. , где - произвольная константа.

3. .

4. Если кривая точкой разбита на две части , то .

5. Если всюду на кривой , то .

6. Если всюду на кривой , то .

7. Если функция задана на кривой , то .

8. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

9. Если - кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси , то .

Вычисление криволинейных интегралов 2 рода.

а) Пусть кривая задана параметрическими уравнениями: , где - непрерывные функции параметра , изменяющегося в пределах от до . Предположим, что точке соответствует значение параметра , точке соответствует движение точки по кривой в направлении от к . Тогда, если функции непрерывны на кривой , то справедлива следующая формула:

б) Если - плоская кривая, заданная уравнением , где - непрерывно-дифференцируемая функция от , и функции непрерывны на этой кривой, то, принимая за параметр, получим

.

Пример 10. Вычислить , где - дуга кривой от точки до точки .

Решение: Так как , то .

Пример 11. Вычислить , где - отрезок прямой от точки до точки .

Решение: Получим уравнение прямой . Используем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки., а именно: .

Получим ; ; ; . Тогда

Теорема. Если кривая - замкнута, а функции вместе со своими частными производными непрерывны в области , ограниченной этой кривой и на её границе, то справедлива

формула Грина-Остроградского: .

Пример 12. Вычислить , где - контур треугольника с вершинами , пробегаемый против хода часовой стрелки.

Решение:

Получим уравнения прямых . Используем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки., а именно: . Получим

; ; . ; ; .

. Тогда

Геометрические и механические приложения

криволинейного интеграла 2 рода.

С помощью криволинейного интеграла 2 рода можно вычислять:

1. Площадь плоской области , ограниченной кусочно-гладким контуром .

.

2. Работу векторного поля вдоль некоторой кусочно-гладкой кривой .

.

3. Циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура .

.

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить криволинейные интегралы по заданным кривым.

1) , где - дуга кривой от точки до точки .

2) , где - отрезок прямой от точки до точки .

3) , где - отрезок прямой от точки до точки .

4) , где - дуга кривой от точки до точки .

5) , где - дуга кривой от точки до точки .