Глава 4. Кратные, криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Двойные интегралы.

Определение. Двойным интегралом от функции по замкнутой области называют предел интегральной суммы при стремлении шага

разбиения области к нулю, если данный предел существует, т.е.

.

Теорема. Достаточные условия существования двойного интеграла.

Если функция непрерывна в замкнутой области , то существует.

Свойства двойного интеграла

1. .

2. .

3. Если область разбита на две области , то .

4. Если всюду в области , то .

5. Если всюду в области , то .

6. Если функция задана в области , то .

7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна в замкнутой области , то в этой области существует точка такая, что , где - площадь одноимённой области.

Правила вычисления двойных интегралов

Теорема 1. Если функция непрерывна в замкнутой области , ограниченной слева и справа прямыми , а сверху и снизу - кривыми , где - непрерывные функции на отрезке ,

причём на , то имеет место равенство

.

Интеграл, стоящий в правой части равенства, называется повторным. Для нахождения повторного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной , переменная при этом считается константой, затем вычисляется внешний интеграл по переменной .

Теорема 2. Если функция непрерывна в замкнутой области , ограниченной сверху и снизу прямыми , а слева и справа - кривыми , где - непрерывные функции на отрезке , причём на , то имеет место равенство

.

Интеграл, стоящий в правой части равенства, называется повторным. Для нахождения повторного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной , переменная при этом считается константой, затем внешний интеграл по переменной .

Пример 1. Вычислить , где .

Решение: Изобразим область интегрирования

Пример 2. Вычислить , где .

Решение: Изобразим область интегрирования

.

Некоторые геометрические и механические приложения двойного интеграла.

1. Вычисление площади плоской фигуры : .

2. Вычисление объёма тела: , где - поверхность, ограничивающая тело снизу, - поверхность, ограничивающая тело сверху.

3. Вычисление массы плоской фигуры : , где - плотность распределения массы.

4. Вычисление координат центра тяжести т. плоской фигуры : , где - плотность распределения массы, - масса фигуры .

Замечание. Если область однородна, т.е. масса области распределена равномерно, то

Пример 3. Найти площадь фигуры , ограниченной линиями: .

Решение: Изобразим область интегрирования.

.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Положение точки на плоскости можно однозначно задать парой чисел , где - длина радиус-вектора точки , а - угол между радиус-вектором и осью . Числа называются полярными координатами точки . Они связаны с её декартовыми координатами следующими соотношениями: , где . Якобиан перехода от декартовых координат к полярным равен . Тогда формула перехода от декартовых координат к полярным имеет вид:

.

Замечание. Данную формулу удобно применять, когда подынтегральная функция зависит от или область представляет собой круг, часть круга, кольцо или часть кольца.

Пример 4. Найти площадь фигуры , ограниченной линиями: и расположенной в 1 четверти.

Решение: Изобразим область интегрирования

Запишем уравнения всех линий, ограничивающих область , в полярных координатах. Получим , или . Тогда площадь фигуры равна:

.

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить интеграл. Изобразить область интегрирования.

1) , где область : .

2) .

3) , где область - кольцо между окружностями

4) , если область ограничена линиями: .

5)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок к задаче.

6) Найти массу плоской пластинки , заданной неравенством , с плотностью .

7) найти координаты центра масс однородной пластины ; ограниченной окружностью и двумя лучами .