18. Принципы инвариантности и автономности для физических, производственных и социально-экономических объектов и процессов.

Автоматические системы называются инвариантными, если их ошибка равна нулю при любых задающих и возмущающих воздействиях. Применение принципа инвариантности позволяет строить высококачественные системы управления технологических процессов, подверженных действию различного рода возмущений, в том числе п параметрических. Одной из важных областей применения принципа инвариантности являются самонастраивающиеся системы управления. Заслуживает особого внимания применение теории инвариантности для построения обучающихся и самообучающихся кибернетических систем что применение принципов инвариантности позволяет существенно улучшить динамические свойства различных систем. Идеи инвариантности используются при построении высококачественных следящих систем комбинированного типа. Теория инвариантности приводит к положительным результатам при управлении автоматизированным электроприводом в гироскопических устройствах, в навигационных системах, в системах пилотирования и кораблевождения.

Принцип автономности ( допущение имущественной обособленности) означает, что активы ( имущество) и обязательства организации существуют обособленно от активов и обязательств собственников этой организации и активов и обязательств других организаций. 

Принцип автономности предусматривает необходимость обособления друг от друга участков мнемосхемы, соответствующих автономно контролируемым объектам и агрегатам. Эти обособленные участки должны быть четко разграничены и согласно принципу структурности должны иметь завершенную, легко запоминающуюся и отличающуюся от других структуру. Структура должна отображать характер объекта и его основные свойства.

Принцип автономности ( имущественной обособленности) означает, что имущество предприятия строго разграничено и обособлено от имущества его совладельцев, работников и других предприятий. В бухгалтерском учете и балансе следует отражать только имущество, которое признается собственностью конкретного предприятия. Предприятие рассматривается как самостоятельное юридическое лицо по отношению к своим работникам и собственникам. 

№19) Линейное программирование в задачах управления для физических, производственных и социально-экономических объектов и процессов. Транспортная задача.

Линейное про­граммирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи:

рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

оптимизации производственной программы предприятий;

оптимального размещения и концентрации производства;

на составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

управления производственными запасами;

и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

 Формы записи задачи линейного программирования:      Общей задачей линейного программирования называют задачу        (2.1)      при ограничениях       (2.2)       (2.3)       (2.4)       (2.5)       -произвольные  (2.6)      где   - заданные действительные числа; (2.1) – целевая функция; (2.1) – (2.6)–ограничения;   -план задачи.

 Транспортная задача      Математическая модель задачи          Линейные транспортные задачи составляют особый класс задач линейного программирования. Задача заключается в отыскании такого плана перевозок продукции с m складов в пункт назначения  n который, потребовал бы минимальных затрат. Если потребитель j  получает единицу продукции (по прямой дороге) со склада i, то возникают издержки С_ij. Предполагается, что транспортные расходы пропорциональны перевозимому количеству продукции, т.е. перевозка k единиц продукции вызывает расходы  kС_ij.       Далее, предполагается, что                                                         где a_i есть количество продукции, находящееся на складе i, и b_j – потребность потребителя >j. Такая транспортная задача называется закрытой. Однако, если данное равенство не выполняется, то получаем открытую транспортную задачу, которая сводится к закрытой по следующим правилам:      1. Если сумма  запасов  в  пунктах  отправления  превышает  сумму  поданных  заявок   то количество продукции, равное   остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n+1  с потребностью   и положим транспортные расходы p_i,n+1 равными 0 для всехi.       2. Если сумма  поданных  заявок  превышает  наличные  запасы  то потребность не может быть покрыта. Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным  балансом,  если  ввести  фиктивный пункт отправления m+1 с  запасом    и стоимость перевозок из  фиктивного  пункта  отправления  во  все  пункты  назначения  принять  равным  нулю.         Математическая модель транспортной задачи имеет вид:                                                                 где x_ij количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j, а С_ij издержки (стоимость перевозок со склада i потребителю j).

№20) Линейное программирование в задачах управления для физических, производственных и социально-экономических объектов и процессов. Транспортная задача.

Линейное про­граммирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи:

рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

оптимизации производственной программы предприятий;

оптимального размещения и концентрации производства;

на составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

управления производственными запасами;

и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

 Формы записи задачи линейного программирования:      Общей задачей линейного программирования называют задачу        (2.1)      при ограничениях       (2.2)       (2.3)       (2.4)       (2.5)       -произвольные  (2.6)      где   - заданные действительные числа; (2.1) – целевая функция; (2.1) – (2.6)–ограничения;   -план задачи.

Планирование на предприятии — процесс разработки и установления руководством предприятия системы количественных и качественных показателей его развития, которая определяет темпы, пропорции, тенденции развития данного предприятия как в текущем, так и на перспективу.

Планирование — это главная функция управления.

Основные задачи на уровне предприятия:

Сосредоточение внимания на приоритетных направлениях.

Готовность к реакции на изменения во внешней среде.

Сведение к минимуму нерациональных действий при возникновении неожиданных ситуаций.

Обеспечение четкого взаимодействия между подразделением предприятия и исполнителями.

Планирование можно классифицировать по нескольким критериям:

-по степени охвата (общее и частичное);

-содержанию в аспекте предпринимательской деятельности (стратегическое — поиск новых возможностей и продуктов, тактическое — предпосылки для известных возможностей и продуктов, оперативное — реализация данной возможности);

-предмету (объекту) планирования (целевое, средств — потенциал, оборудование, материалы, финансы, информация, программное, действий);

сферам функционирования (производство, маркетинг, НИОКР, финансы);

-охвату (глобальное, контурное, макровеличин, детальное);

-срокам (кратко-, средне-, долгосрочное);

-жесткое и гибкое.

№21) Линейное программирование в задачах управления для физических, производственных и социально-экономических объектов и процессов. Транспортная задача.

Линейное про­граммирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи:

рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

оптимизации производственной программы предприятий;

оптимального размещения и концентрации производства;

на составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

управления производственными запасами;

и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

 Формы записи задачи линейного программирования:      Общей задачей линейного программирования называют задачу        (2.1)      при ограничениях       (2.2)       (2.3)       (2.4)       (2.5)       -произвольные  (2.6)      где   - заданные действительные числа; (2.1) – целевая функция; (2.1) – (2.6)–ограничения;   -план задачи.

Оптимальное распределение взаимозаменяемых ресурсов. Имеются m видов взаимозаменяемых ресурсов а₁, а₂, ., а_m, используемых при выполнении nразличных работ (задач). Объемы работ, которые должны быть выполнены, составляют b₁, b₂, . , b_i, b_n единиц. Заданы числа  , указывающие, сколько единиц j -й работы можно получить из единицы і -го ресурса, а также C_ij - затраты на производство j -й работы из единицы i -го ресурса. Требуется распределить ресурсы по работам таким образом, чтобы суммарная эффективность выполненных работ была максимальной (или суммарные затраты - минимальными).

Данная задача называется общей распределительной задачей. Количество единиц i -го ресурса, которое выделено на выполнение работ j -го вида, обозначим через x_ij.

Математическая модель рассматриваемой задачи такова:

(3.3)

(3.3)

при ограничениях

(3.4)		(3.4)
(3.5)	(3.5)

Ограничение (3.4) означает, что план всех работ должен быть выполнен полностью, а (3.5) означает, что ресурсы должны быть израсходованы целиком.

22. Задача коммивояжёра Задача коммивояжёра (коммивояжёр — бродячий торговец) заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз, в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов. Гамильтоновым циклом в графе называют простой цикл, содержащий все вершины графа ровно по одному разу. Существует масса разновидностей обобщённой постановки задачи, в частности геометрическая задача коммивояжёра (когда матрица расстояний отражает расстояния между точками на плоскости), треугольная задача коммивояжёра (когда на матрице стоимостей выполняется неравенство треугольника), симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра. Простейшие методы решения задачи коммивояжёра: полный лексический перебор, жадные алгоритмы (метод ближайшего соседа, метод включения ближайшего города, метод самого дешёвого включения), метод минимального остовного дерева. На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ и метод генетических алгоритмов, а так же алгоритм муравьиной колонии. Метод ветвей и границ — общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является комбинаторным (алгоритм перебора) с отсевом подмножеств множества допустимых решений, не содержащих оптимальных решений. Метод был впервые предложен Ленд и Дойг в 1960 г. для решения задач линейного программирования

Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума и максимума функции f(x) на множестве допустимых значений x. Функция f и x могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ). Процедура ветвления состоит в разбиении области допустимых решений на подобласти меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти. Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений. В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B, то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения. Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.

23.Задача о ранце

Задача о ранце (рюкзаке) (англ. Knapsack problem) — одна из задач комбинаторной оптимизации. Название своё получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов, способных поместиться в рюкзак, ограничен. Очевидно, что писать программу для упаковки рюкзака в путешествие никто не станет. Существует более широкое применение. Задачи о загрузке (о рюкзаке) и её модификации часто возникают в экономике, прикладной математике, криптографии, логистике для нахождения оптимальной загрузки транспорта (самолёта, поезда, трюма корабля) или склада^[1][2], генетике. В общем виде задачу можно сформулировать так: из заданного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес.

Пример задачи о ранце: необходимо разместить ящики в рюкзак при условии на вместимость рюкзака 15 кг, так чтобы суммарная полезность предметов в рюкзаке была максимальной.

ЗАДАЧА О РАНЦЕ

2) Загрузить в ранец самый ценный предмет.  3) Выбрать следующий j-й предмет и проверить ограничение на объем b ранца с учетом уже загру-женных предметов. 4) Если ограничение выполнено, то загрузить j-й предмет в ранец, в противном случае этот предмет не загружать, а выбрать следующий по ценности (j+1)-й предмет с проверкой ограничения и т.д. 5) Выбрать следующий, менее ценный предмет и проверить ограничение. Далее – согласно п. 4 до тех пор, пока все предметы будут выбраны. Задача о ранце может возникнуть при отправке грузового космического корабля на станцию, находящуюся на орбите. При этом появляется второй критерий – минимум суммарной массы предметов:

24. задача об упаковке в контейнеры (Ничего более полезного чем в википедии по ней не нашел)

В теории сложности вычислений задача об упаковке в контейнеры — NP-трудная комбинаторная задача. Задача заключается в упаковке объектов предопределённой формы в конечное число контейнеров предопределённой формы таким способом, чтобы число использованных контейнеров было наименьшим или количество или объём объектов (которые упаковывают) были наибольшими.

Существует множество разновидностей этой задачи (двумерная упаковка, линейная упаковка, упаковка по весу, упаковка по стоимости и т.п.), которые могут применяться в разных областях, как собственно в вопросе оптимального заполнения контейнеров, загрузки грузовиков с ограничением по весу, созданием резервных копий на съёмных носителях и т.д.

Так как задача является NP-трудной зачастую используют алгоритмы с эвристическим и метаэвристическим методом решения для получения оптимальных результатов. Также активно используются методы искусственного интеллекта, как, например, нейронные сети.

Стратегии Best Fit Decreasing и First Fit Decreasing используют не более   контейнеров (где   - число контейнеров при наилучшем решении задачи). Однако, существуют алгоритмы приближения, которые могут решить задачу об упаковке с любым наперёд заданным процентом наилучшего решения для больших массивов исходных данных (они называются асимптотической схемой приближения полиномиального времени). Всё это выделяет задачу среди большинства других основных NP-трудных задач, некоторые из которых не могут быть приближены вообще.

25.Элементы теории игр

При решении экономических задач часто приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих раз­личные цели; это особенно характерно в условиях рыночной экономики. Такого рода ситуации называются конфликтными. Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противни­ков; существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной; если таких коалиций две, то игра сводится к парной.

На промышленных предприятиях теория игр может при­меняться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полу­фабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увели­чения запасов, гарантирующих бесперебойную работу произ­водства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор для посева одной из возможных культур, урожай ко­торых зависит от погоды, если известны цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культу­ры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засуш­ливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим — природа.

Решение подобных задач требует полной определенности в формулировании их условий {правил игры); установления количества игроков, выявления возможных стратегий игро­ков, возможных выигрышей (проигрыш понимается как от­рицательный выигрыш). Важным элементом в условии иг­ровых задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют одно­значный выбор действий данного игрока. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы — чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого иг­рока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Важными являются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отра­жение в определении решения игры: стратегии Р* и ф* пер­вого и второго игрока соответственно называются их опти­мальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для любых стратегий Р первого игрока и любых стратегий ф второго игрока выполняются неравенства

М(Р,<Э*) <У< М{Р\Я), (8.50)

Где М(Р,0) означает математическое ожидание выигрыша (средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игроками избраны соответственно стратегии Р и ф.

Из неравенств (8.50) следует, в частности, что V = М(Р*,0*), т. е. цена игры равна математическому ожиданию выигрыша первого игрока, если оба игрока изберут оптимальные для себя стратегии.