2. Интерполяционный полином Лагранжа

Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:

(5.5)

Старшая степень аргумента x в этом полиноме равна n, так как каждое произведение в (5.5) содержит n сомножителей типа ( x - x _j ).

Рис.5.3. Алгоритм интерполяции с использованием полинома Лагранжа

В узлах x = x i выполняются условия Лаг­ран­жа Pn (x i )=f i. Например, при n=3 полином Лагранжа выглядит следующим образом: P3(x)=f0 + + f1 + + f2 + + f3 . Тогда, например, при x = x2 получаем: P3(x2)=f0 + + f1 + + f2 + + f3 .

Сомножители при f₀, f₁ и f₃ из-за наличия члена x₂ - x₂ обращаются в ноль, а сомно­жи­тель при f₂ равен единице, т.е. P₃(x₂)=f₂, что и требовалось доказать.

Блок-схема интерполяции полиномом Лагранжа приведена на рис.5.3.

В отличие от канонического полинома для вычислений значений полинома Лаг­ранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома, но для каж­дой новой точки интерполяции полином приходится пересчитывать вновь. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано в том случае, когда интерпо­ля­ция проводится в сравнительно небольшом количестве точек.

3. Интерполяционный полином Ньютона

Ньютон предложил следующий вид интерполяционного полинома:

Pn(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)(x-x1)+...+An(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)

(5.6)

Коэффициенты этого полинома A₀, A₁, A₂,...,A_n определяются из условий Лагранжа (5.3).

Полагаем  x=x₀. Тогда в (5.6) все слагаемые, кроме A₀, обращаются в нуль, следова­тель­но,

A₀ = f₀.

Затем полагаем x=x₁, тогда из (5.3) имеем:

f₀ + A₁(x₁-x₀)= f₁,

откуда находим коэффициент A₁:

A₁ = или A₁ = f₀₁.

Величина f₀₁ = называется разделенной разностью первого порядка. При малом расстоянии между x₀ и x₁ эта величина близка к первой производной от функции f(x), вычисленной в точке x=x₀.

При x=x₂ полином (5.6) принимает вид:

P_n(x)= f₀+f₀₁(x-x₀)+A₂(x-x₀)(x-x₁) ,

откуда с учетом (5.3) получаем:

f₂ = f₀+f₀₁(x₂-x₀)+A₂(x₂-x₀)(x₂-x₁) или f₂ -f₀-f₀₁(x₂-x₀) = A₂(x₂-x₀)(x₂-x₁) ,

следовательно, коэффициент A₂:

A₂= = = = ,

где   . Обозначая = f₀₁₂ (разделенная разность второго порядка),

окончательно получаем выражение для A₂:

A₂ = f₀₁₂ .

Аналогично, при x=x₃, находим коэффициент A₃:

,

где ; .

Методом математической индукции можно получить для любого A_k (k=0,...,n) следующее выражение:

.

Полученные результаты сведены в представленной ниже таблице.

Следует отметить, что добавление новых узлов в исходных данных не изменяет уже вычисленные коэффициенты; таблица будет лишь дополняться новыми строками и столбцами.

В интерполяционный полином Ньютона входят только диа­го­нальные элементы данной таблицы, а остальные являются промежуточными данными. Для вычисления любого элемента этой таблицы необходимы: диагональный элемент предыдущего столбца и предыдущий элемент данной строки. Поэтому в программе, реализующей данный алгоритм,

		Разделенные разности
x	f	1	2		3		4
x0	f0	=A0
x1	f1	f01=	=A1
x2	f2	f02=	f012=		=A2
x3	f3	f03=	f013=		f0123=		=A3
x4	f4	f04=	f014=		f0124=		f01234=		=A4

Рис.5.4. Алгоритм интерполяции полиномом Ньютона

не нужно организовывать двумерный массив. Более того, все разделенные разности, в том числе и диагональные элементы (коэффициенты полинома) можно помещать по мере вычисления на место исходных значений fk. Следовательно, в программе можно ограничиться только двумя массивами: Х-для узлов и F-для значений аппроксимируемой функции. Массив F по мере выполнения программы будет заполняться разделенными разностями, и в конце концов в нем будут получены коэф­фициенты полинома A0,A1,A2,... ,An. Таким образом, данный метод аппроксимации, так же как и в случае канонического полинома, дает в качестве результата коэффициенты интерполяционного полинома. После определения коэффициентов A0,A1,A2,... ,An вычисление значений полинома Ньютона при конкретных аргументах x рекомендуется выполнять также по схеме Горнера, для чего полином (5.8) надо преобразовать к виду: Pn(x)=A0+(x-x0)(A1+(x-x1)(A2+...+(x-xn-1)An)...)). На рис.5.4 представлена блок-схема вычисления коэффициентов полинома Ньютона и его значений в точках интерполяции по схеме Горнера.