Интерполяция каноническим полиномом

Рис.5.1. Алгоритм вычисления

коэффициентов канонического

полинома

Рис.5.2. Алгоритм схемы Горнера

Эти условия представляют собой систему n+1 линейных алгебраических уравнений:

c₀ + c₁x₀ + c₂x₀² + . . . + c_nx₀ⁿ = f₀

c₀ + c₁x₁ + c₂x₁² + . . . + c_nx₁ⁿ = f₁

c₀ + c₁x₂ + c₂x₂² + . . . + c_nx₂ⁿ = f₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c₀ + c₁x_n + c₂x_n² + . . . + c_nx_nⁿ = f_n

(5.4)

В системе (5.4) неизвестными являются значения c₀, c₁, c₂, ..., c_n , а значения

1

x₀

x₀²

. . .

x₀ⁿ

f₀

1

x₁

x₁²

. . .

x₁ⁿ

f₁

1

x₂

x₂²

. . .

x₂ⁿ

и

f₂

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

1

x_n

x_n²

. . .

x_nⁿ

f_n

образуют соответственно матрицу коэффициентов при неизвестных и вектор-столбец сво­бодных членов.

Эта система всегда имеет решение, если для любых двух не равных i и j выполняется:

x_i  x_j ; i, j = 0,1,2,...,n.

Блок-схема вычисления коэффициентов полинома представлена на рис.5.1.

Вычисление значений полинома в точках интерполяции при уже известных значени­ях коэффициентов c₀,c₁,c₂,...,c_n производится по алгоритму, имеющему название схема Горнера (рис.5.2). Для использования этого алгоритма полином

P_n( x ) = c₀ + c₁ x + c₂ x² + ... + c_n xⁿ

преобразуется к виду:

P_n( x ) = c₀ + x( c₁ + x(c₂ + x(с₃ +... + xc_n )...)))

Использование такого преобразования сокращает количество арифметических операций и уменьшает тем самым погрешность вычислений, обусловленную округлением вещественных чисел.