4.∃ И ед. Решения з. Коши n-го п-ка на отр.

Теорема

Задача Коши

⦁

для уравнения n-го п-ка, разрешённого отн. старшей пр., правая часть которого удовл. условиям:

1) непр по всем аргументам

2)усл. Липшица по аргументам (y,y’,…,y^(n-1)),

имеет решение, и при том единственное

Д-во

Сведём ⦁ к задаче Коши для нормальной системы. Пусть

{y₁=y(t),y₂=y’(t),..,y_n=y^(n-1)(t)}

_o={y_o,y_o’,…,y_o^(n-1)}

{y₂,y₃,…,y_n,f(y,y₁,y₂,…,y_n)}

Тогда имеем нормальную систему

т.к. удовл. усл. т. решения задачи Коши для норм. систем оду, а) непр. по всем арг. в области D: (|t-t₀|≤T, |y_m-y_m⁰|≤b), где b-одно и то же для m∊[1,n]; б)усл. Липшица по :

|f_m(t, ’)-f_m(t, ”)|≤k {|y₁’-y₁”|+…+|y_m’-

-y_m”|} для всех m∊[1,n]

следовательно, теорема доказана ∎

6. Ед. Решения з. Коши норм. Системы

Теорема

Если ={f_m(t,y₁,…y_n)} для всех m∊[1,n] удовл. усл:

1)непр по всем арг. в области D: (|t-t₀|≤T, |y_m-y_m⁰|≤b), где b-одно и то же для m∊[1,n];

2)усл. Липшица по , т.е.:

|f_m(t, ’)-f_m(t, ”)|≤k{|y₁’-y₁”|+…+|y_n’-y_n”|}

для всех m∊[1,n], то решение задачи Коши (t) для нормальной системы ДУ единственно на отр. |t-t_o|<n, где n=min(T, ), |f_m|<M для ∀m

Д-во

Необх. д-ть, ед. решения норм. системы ДУ

которой соотв. эквив. система инт. ур.

y_m(t)=y_m^o+ f_m(r,y₁(r),…,y_n(r))dr m∊[1,n] ⦁

Пусть есть 2 решения: ⁽¹⁾={y₁⁽¹⁾,…,y_n⁽¹⁾},

⁽²⁾={y₁⁽²⁾,…,y_n⁽²⁾}, у которых не все

y_m¹ равны y_m². Тогда не равна нулю ф-ия отклонения решений Ф(t)= |y_m⁽¹⁾-y_m⁽²⁾|

из ⦁ ⇒ y­_m⁽¹⁾-y_m⁽²⁾= (f_m(r, ⁽¹⁾)-f_m(r, ⁽²⁾))dr

Используя усл. Липшица для f_m(t,y), получим

|f_m(r, ⁽¹⁾)-f_m(r, ⁽²⁾)|≤kФ(r)

Следовательно, |y_m⁽¹⁾-y_m⁽²⁾|≤k Ф(r)dr

Из полученного н-ва, согласно оценке

0≤Z(t)≤ ,k=const, получаем Z(t)=0, имеем Ф(t)=0, что означает, что ₁= ₂ ∎

7.Устойчивость по первому приближению

Теорема

Пусть в некоторой окрестности точки покоя =0 правая часть автономной системы непр. вместе с производными до второго порядка включительно. Тогда, если все λ_k характ. числа матрицы Â={a_ij= =0 }

удовлетворяют усл. Reλ_k<0, то тривиальное решение системы

Асимптотически устойчиво. Если хотя бы 1 λ_k имеет Reλ_k>0, то решение неустойчиво

8. Определение непр. Зависимости решения з.Коши от начального усл.

Пусть дана задача Коши ⦁

Пусть ф-ия f(t,y) опр. и непр. в прям. Q={(t,y): |t=t_o|≤T, A≤y≤B}. Непр. зависимость решения задачи Коши от начального условия – это когда решением задачи Коши на отр. [t_o-T,t_o+T] явл. ф-ия y(t) такая, что y(t), непр. диф. на [t_o-T,t_o+T], A≤y(t)≤B для t∊[t_o-T,t_o+T] y(t) удовл. ⦁

Решение задачи Коши ⦁ зависит от ф-ии f(t,y) и начального состояния y_o

Теорема

Пусть ф-ии f₁(t,y) И f₂(t,y) непр. в прям. Q и f₁(t,y) удовл. в Q условию Липшица по y, то есть ∃L>0, такая что:

|f₁(t,y)-f₁(t, )|≤L|y- |, ∀(t,y),(t, )∊Q

Тогда если ф-ии y₁(t) и y₂(t) на отр. [t_o-T,t_o+T] явл. решениями задачи Коши ⦁, то имеет место н-во

t∊ |y₁(t)-y₂(t)|≤(|y₀₁-

-y₀₂|+T |f₁(t,y)-f₂(t,y)|exp{LT}

9. Сингулярное возмущение з. Коши

Сингулярным возмущением задачи Коши

называется случай, когда f(y,x,μ) при μ->0 имеет нерегулярность, т.е. ведёт себя особым (сингулярным) образом, что приводит к нарушению условий теоремы существования и единственности решения.

10. Решение з. Коши импульсной функцией

Пусть ^o (t) – решение неоднородной системы с нулевыми начальными данными

Тогда мы можем выразить через импульсную ф-ию (t,t_o)= (t) ^-1(t_o):

= (t)- (t,t_o)* ^o, где

(t) – решение задачи Коши для неодн. системы ДУ

а ^o находится из одн. системы с заданными начальными данными где (t) – решение этой системы

11. Условия на f(t,y) для сущ. непр. решения

Если в задаче Коши

f(t,y,μ) непр. по всем арг. в области D:{0≤t≤T, |y|≤a, |μ-μ_o|≤b} и удовл. по переменной y усл. Липшица

|f(t,y₁,μ)-f(t,y₂,μ)|≤k|y₁-y₂|

всюду в D, причём k не зависит от t и μ, то решение задачи y=y(t,μ) определено в D и непрерывно по t и μ.

13. Что следует, согласно лемме Гронуолла-Беллмана, из оценки

, где – непрерывная функция?

Согласно Лемме Г-Б из этого следует оценка Z(t)=0, где Z(t) – непр.

14. Дать определение фундаментальной системы решений для линейной однородной системы дифференциальных уравнений.

Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется n линейно независимых решений {^(k) } , k∊[1,n] этой системы.

15.Дать определение фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы для линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется n линейно независимых решений {^(k) } , k∊[1,n] этой системы, а соответственно матрица этих решений ={⁽¹⁾ ,…,⁽ⁿ⁾ } называется фундаментальной матрицей системы

16.Является ли единственной фундаментальная матрица для линейной системы дифференциальных уравнений? Ответ обосновать.

Фундаментальная матрица для лин. системы не явл. единственной. Существует бесконечно много фунд. матриц, т.к. в задаче Коши

достаточно взять , где Det ≠ 0, и получится другая фунд. матрица

23.Выписать импульсную функцию через фундаментальную матрицу линейной системы.

Импульсная ф-ия (t,t_o) выражается через фунд. м-цу линейной системы в виде

(t,t₀)= ^-1(t₀)

24.Запишите общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений с произвольными начальными данными с помощью фундаментальной матрицы.

Если (t) – фунд. матрица, а ⁽⁰⁾y(t) – частное решение y’= y+b, то общее решение неодн. ур. представимо в виде: y(t)= (t)C+⁽⁰⁾y(t)

25.Что называется принципом суперпозиции для линейного дифференциального уравнения n-го порядка?

Для линейного ДУ n-го п-ка выполняется принцип суперпозиции, который определяется равенством:

26.Сформулировать теорему об альтернативе для определителя Вронского для решений линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема

Определитель Вронского Δ(t) для решений {^(k) }, k∊[1,n] однородной системы ДУ или Δt=0 для ∀t∊r, что означает ЛЗ {^(k) }, или Δ(t)≠0 для ∀t∊r, что означает ЛНЗ {^(k) }.

27.Дать определение особого решения для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, не разрешенного относительно производной.

Особым решением называется такое решение уравнения, во всех точках которого нарушается единственность решения задачи Коши

28.Дать определение характеристического многочлена для линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка с вещ. постоянными коэф. a_j∊R, j=0,…,n, a_o≠0:

a_oy⁽ⁿ⁾(t)+a₁y^(n-1)(t)+…+a_n-1y’(t)+a_ny(t)=0

Это уравнение можно записать в операторном виде Ly=0, где дифференциальный оператор L с постоянными коэф. (!!!L – прописная !!!!!)

Ly=a_oy⁽ⁿ⁾(t)+a₁y^(n-1)(t)+…+a_n-1y’(t)+a_ny(t)

Сопоставим диф. оператору L многочлен

μ(λ)=a_oλⁿ+a₁λ^n-1+…+a_n-1λ+a_n

многочлен μ(λ) называется характеристическим многочленом