24. Однокроковий мнк. Умови Гаусса-Маркова.

У випадку класичної регресійної моделі , при виконанні умов ( Гаусса-Маркова), МНК-оцінок є найкращим серед класу всіх лінійних незміщених оцінників.

Функція з лінійним параметром с, який являє собою вектор-стовпець розмірністю ( ), який складається із відомих констант. Нехай є можливою оцінкою , де . Дана оцінка буде незміщенною, якщо , а її дисперсія

Нехай - інша незміщена оцінка функції , так що:

Отже, буде дорівнювати тільки тоді, коли , тобто , тоді . Так, як , то . Отже , де

- симетрична ідемпотентна додатна напіввизначена матриця, для якої справедлива рівність .

. Оцінка функції , отримана методом найменших квадратів, має мінімально можливі дисперсії в класі лінійних незміщених оцінок. Нехай . Тоді нерівність буде мати вигляд , .

Це означає, що оцінки будуть найкращими лінійними незміщеними оцінками, тобто належатимуть класу BLUE.

25. Дисперсійно-коваріаційна матриця похибок в узагальненій регресійній моделі.

Застосування теорії матриць допомагає не тільки знайти дисперсії параметрів b, а й встановити коваріації між двома попарними їхніми значеннями, тобто між та ; .

За означення дисперсійно-коваріаційна матриця для b є: , що можна записати:

Отже: , де - дисперсія випадкової величини ;

- зворотна матриця до матриці .

26. Прогноз при автокореляції залишків.

В економетрічних дослідженях часто виникають ситуації, коли дисперсія відхилень - стала, але спостерігається коваріація відхилень. Таке явище називають автокореляцією відхилень.

Перевірка наявності автокореляції.

Критерій Дарбіна - Уотсона.

Для перевірки наявності автокореляції відхилень обчислюють статистику d за формулою:

(7.1)

де l_t - величина відхилень в період t, n - кількість спостережень.

Ця статистика може приймати будь-яке значення з інтервату (0,4).

Між статистикою d і коефіцієнтом автокореляції існує приблизна залежність

(7.2)

При відсутності автокореляції r = 0 і d статистика приймає значення близькє до 2.

При достатньо великій кількості спостережень, можна вважати, що використовується рівність

D = 2(1 - r)

Якщо r Є (0,1), то d є (0,2) і автокореляція додатня.

Для статистики d табульовані критичні межі: нижня d₁, та верхня d₂ . Критичні межі статистики d дозволяють з надійністю Р = 0.95 або P = 0.99, робити висновок про наявність або відсутність автокореляції першого порядку.

Якщо 0 < d < d_і ,то відхилення мають автокореляцію;

Якщо d>d₂ то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції відхилень

Якщо d₁<d<d₂,то висновку робити не можна, а необхідно подальші дослідження, беручи більшу кількість спостережень.

При наявності автокореляції відхилень необхідно з'ясувати причини її появи.

Для оцінювання параметрів економетричної моделі, з автокорельованими відхиленнями існує декілька методів: загальний метод найменших квадратів для випадку автокореляції і Ейткена), метод перетворення вихідної інформації та наближені методи Дарбіна і Кочрена – Орката.

Метод перетворення вихідної інформації здійснюється у випадку автокореляції відхилень першого порядку за таким алгоритмом:

Крок 1. Велечину р, яка характеризує коваріацію відхилень (зв'язок між послідовними елементами ряду відхилень), знаходять за формулою:

(7.3)

де l – величина відхилення у період t, n – кількість спостережень, m – кількість факторів.

Крок 2. Будують матрицю перетворень розміром n*n вигляду:

(7.4)

Ця матриця дозволяє застосувати метод найменших квадратів до перетворення вихідних даних:

де x^j_k – значення катої компоненти фактора Хj.

Крок 3. Знаходять оцінки параметрів моделі за формулою

(7.5)