15.1 Система Гамільтона з одним ступенем свободи.

Виконуємо дослідження системи з одним ступенем свободи на фазовій площині /20,41/. Функція Гамільтона для цієї системи дорівнює:

(4.47)

Це повна енергія системи Е=Г(x,y)=Г , вона не залежить від часу і являється інтегралом руху, тобто E=inv.

Запишемо канонічні рівняння Гамільтона:

(4.48)

де х²=2m(E-V(y)) знайдемо з (4.47) при прийнятті Г(x,y)=E.

Інтегрування системи рівнянь (4.48) при деяких початкових умовах дає траєкторію руху по кожній із координат:

(4.49)

де Е₀=Г(х₀,у₀).

Інтегральні криві можна отримати за допомогою метода фазової площини /20,41/. При цьому важливу роль відіграють такі особливі точки фазової площини як точки рівноваги /20/, які відповідають умовам , тобто:

(4.50)

З (4.50) слідує, що у стані рівноваги швидкість (4.48) дорівнює нулю, а потенційна функція V(y) має екстремум. Це можна проілюструвати малюнком (рис. 4.2). Рівняння фазової площини – це залежність координат (швидкості та координати) при виключенні з цієї залежності часу t.

Складемо таке рівняння. Із системи (4.48) по другому диференційному рівнянню маємо:

(4.51)

Лінеарізуємо (4.51) у точках рівноваги досліджуємої системи (х_р,у_р). Запишемо спочатку рівняння у варіаціях:

(4.52)

Потенційну функцію V(y-y_p) запишемо у ряд Тейлора, де обмежуємось членом із другою похідною. Тоді будемо мати:

(4.53)

де (точки рівноваги).

Рис. 4.2

Підстановка (4.53) до (4.52) дає:

або

(4.54)

Рівняння (4.54) описує центральні криві другого порядку. Вони мають також назву конічних пересічень, тому що можуть отримуватись як пересічення площиною прямого кругового конуса. Якщо сікуча площина не проходить через вершину конуса то пересічення буде гіперболою, параболою або еліпсом у залежності від того, чи паралельна сікуча площина двом, одній або зовсім не паралельна ні одній із утворюючих конуса. Якщо сікуча площина проходить через вершину конуса, то створюються розпадаючіся конічні січення.

Паралельні прямі отримують, якщо конус перероджується в циліндр (вершина конуса віддаляється на необмеженість).

У нашому випадку: якщо V(y_p)0 , що відповідає максимуму потенційної функції V(y_p)=max (горб), то через відповідну точку (x_p,y_p)=(x₁=0, y₁)=(x₃=0, y₃) проходять дві прямі (-2m(E-E_p) 0), що перетинаються. Вони являються частинами деяких граничних кривих, що поділяють фазову площину на дві частини: фазова площина з інфінітним рухом зображуючої точки, та фазова площина з фінітним рухом зображуючої точки. Ці граничні криві мають назву сепаратрис.

Сукупність інтегральних кривих поблизу точок у₁ та у₃ мають вид гіпербол. Тому точки з координатами (0,у₁) та (0,у₃) мають назву гіперболічних або сідел. Рух навколо сідла – інфінітний, а система у цьому районі нестійка.

Припустимо, що та –2m(E-E_p)<0. Тоді інтегральна крива буде еліпсом у точці з координатами (0,у₂). Ця точка називається еліптичною (Е>E_p). Поблизу цієї точки рух фінітний: зображуюча точка переміщується по еліпсу (рис.4.2) з певними параметрами. Якщо початкові точки знаходяться в зоні фінітного руху, то траєкторії, що виходять із таких точок, наближаються до еліпса і далі рухаються по цьому еліпсу. Рух по еліпсу має назву граничного циклу. При цьому в системі встановлюється автоколивальний режим. Відповідно до структури потенціалу V(y) маємо “захоплені” до потенційної ями фінітні траєкторії (min V(y_p)) (така точка має назву атрактора) і “пролітаючі” (незахоплені ) фінітні траєкторії /20,41/.

Таким чином, структура потенційної функції V(y) дозволяє визначати режими роботи досліджуємої системи (перехідний, чи усталений), оцінювати стійкість систем, визначати автоколивальні режими, та обраховувати їх параметри.