2. Метод Ньютона.
Метод
Ньютона полягає у такому виборі матриці
в (6.17), при якому спектральний радіус
матриці, що характеризує сходження
ітерацій, доpівнює
нулю при X=X*,
тобто
Такою матpицею,
зокрема, є матрица =-Я-1,
тоді ітераційна формула записується:
Xk+1=Xk-Я-1 F(Xk), |
(6.20) |
зображенням цього ітераційного процесу є G(X)=X-Я-1 F(X).
Щоб
метод сходився до точного рішення X*,
спектральний радіус матриці
повинен бути менше за 1,
тобто
де
-похідна
по вектору X.
Наведена умова жорстко обмежує вектор-функцію F(X), зокрема, вона повинна бути безперервною, мати похідну та бути строго опукла (або вогнута) в області визначення F(X).
Припустимо, що матриця Якобі поблизу X* постійна, тоді приходимо до рівняння в точці рішення:
|
(6.21) |
де
Iз
формули (6.21) виходить, що для метода
Ньютона завжди є
деяка
область поблизу точки X*
в межах якої виконуються умови сходження
ітерацій
.
Якщо при цьому початкове наближення X0
обрано
досить близьким до X*,
то метод Ньютона завжди сходиться до
точного рішення X*.
Це видно із рис.
6.1.
На цьому рисунку показані деякі варіанти
сходження метода Ньютона для одного
рівняння f(x)=0
поблизу точного рішення х*.
Виконаємо оцінку швидкості сходження метода Ньютона, для чого розглянемо похибку для одного (скалярного) рівняння f(x)=0 поблизу точного рішення х*, тобто ek=хk-х*.
Припустимо,
що функція зображення ітераційного
процесу
має похідні першого та другого порядка
в точці x*.
Використовуємо формулу Тейлора:
|
(6.2) |
де
x*<
<xk
Тому
що
,
то із (6.22) маємо:
Тут
розуміється, що g(xk)=xk+1,
а x*=g(x*),
тому
і
ek+1=с(ek)2 , |
(6.23) |
де с -величина, незалежна від ek.
Таким чином метод Ньютона має квадратичну сходимість поблизу точного вирішення x*.
Для лінійної системи алгебраїчних рівнянь метод Ньютона сходиться до точного рішення x* за одну ітерацію при виборі будь-якого початкового наближення. Так, якщо f(x)=ax+c, то функції g(x) відповідає пряма лінія, що паралельна ox і проходить через точку (g(x*), x*) (на рис.6.1 це помічено пунктиром). Ясно, що із будь-якої точки x рішення буде знайдено за одну ітерацію. Методу Ньютона притаманні також певні недоліки сеpед яких:
необхідність на кожній ітерації обчислювати матрицю Якобі і матрицю, зворотню до неї;
відсутність будь-яких рекомендацій по вибору X0, близьких до X* (X* - невідомо апріорі).
Заліковий білет № 3
1. Багатомірні системи, моделюємі в просторі “вхід-вихідних” характеристик.
Будем рассматривать многомерную систему автоматического управления, задан- ную, учитывая векторный характер связей между функциональными элементами сис- темы, в виде векторно–матричного представления уравнений, описывающих систему в целом. Математическую модель рассматриваемой многомерной системы автоматиче- ского управления будем представлять в виде структурированной модели в изображени- ях. Будем рассматривать модель системы как аналог одномерной системы автоматиче- ского управления с единичной отрицательной обратной связью (рис.).
Рис. Структурная схема исследуемой многомерной системы автоматического управления
