8)Круглый волновод

Круглый волновод и соответствующая ему цилиндрическая система координат изображены ниже (рис.2.12).

Рассматриваем волновое уравнение для поперечной части вектора Герца. В полярной системе координат (r , ) оно имеет вид : ²П/r² + (1/r)П/r + (1/r²)²П/² + æ²П = 0 (2.55). Пользуемся делением переменных П(r,) = R(r)Ф() (2.56), получим d²R/dr² + (1/r)dR/dr + (æ² - m²/r²)R = 0, (2.57). d²Ф/d² + m²Ф = 0 . (2.58). Решение (2.58) известно : Ф = А₁cos(m) + A₂sin(m) . (2.59). Так как при изменении угла  на 2np , p =1, 2...(при обходе вокруг оси волновода p раз) должно получаться то же самое поле, функция Ф периодична с периодом 2 : Ф( + 2np) = Ф( ) = cos(m + ). Т.е. m должно быть целым числом. Уравнение (2.57) является уравнением Бесселя m-го порядка. Его решение известно : R = B₁J_m(ær) + B₂N_m(ær),(2.60) , где J_m и N_m - функции Бесселя и Неймана m-го порядка соответственно. Известно, что N_m(x)|_x0  , поэтому в случае реального физического процесса В₂ = 0. Таким образом имеем : П(r,)=C J_m(ær)cos(m + ) . (2.61). Рассмотрим частные решения для П_е и П_h .П_е(r,)|_r=a = 0, то J_m(æа) = 0  æ_mn = _mn /a , где _mn - корни функции Бесселя m-го порядка. Отсюда :П_е(r,) = C J_m(_mnr/a) cos(m + ) (2.62) П_h(r,)/r|_r=a = 0 , J^_m(æа) = 0  æ_mn = _mn /a , где _mn - корни первой

производной функции Бесселя порядка m. Отсюда : П_h(r,) = C J_m(_mnr/a) cos(m + ) .(2.63) Значения _mn и _mn берутся в таблице

Основными типами волн являются Е₀₁ (æ_mn=2,41/а) и Н₁₁ (æ_mn=1,84/а). Cтруктуры полей основных типов волн изображены ниже.

Рис. 2.13. Структура поля основных типов волн в круглом волноводе.

Спектр собственных волн круглого волновода показан ниже (рис.2.14).

16)Добротность объёмных резонаторов

При конечной проводимости стенок электромагнитные процессы в резонаторе сопровождаются потерями на нагрев стенок. Если кроме того, некоторой проводимостью обладает диэлектрик, заполняющий резонатор, то к потерям на нагрев стенок прибавляются потери на нагрев диэлектрика. Всё это приводит к тому, что амплитуды собственных колебаний в резонаторе убывают во времени, как в обычном колебательном контуре с потерями.

Е(t) , H(t)  exp(-₁t)exp(i₀t)

где ₀ - собственная частота колебаний в резонаторе без потерь.

Оценим добротность резонатора, считая, что диэлектрические потери отсутствуют :

Q = ₀/2₁, ₁T 1, (1/T) (-2₁t)dt  1

Тогда для усреднённой за период энергии поля в резонаторе имеем :

<W>=exp(-2₁t)<W₀>, <W₀> = (₁₁/2) H₀|²dv

где под индексом “0” понимаются величины, относящиеся к резонатору без потерь.

Таким образом :

<W> = (₁₁/2)exp(-2₁t) H₀|²dv

Пусть <S> - усреднённый за период поток энергии на джоулев нагрев стенок :

<S> = Re{(1/2) E,H^*]_nds}.

Поскольку [E,H^*]_n |_S =w[[H,n],H^*]_n = w|H_|²,

w = (₁₂/₁₂)  (₁₂₀/i)^1/2 = (2/₁₂₀)^1/2(₀₁₂/2)(i-1)/2 ,

то для <S> имеем :

<S> = -(₀₁₂/2) ) H_]²ds = - (₀₁₂/2)exp(-2₁t) H_0]²ds

По закону сохранения энергии имеем :

d<W>/dt = - <S> ,

следовательно :

₁₁₁exp(-2₁t) H₀|²dv=-(₀₁₂/2)exp(-2₁t) H_0]²ds ,

или иначе :

Q = ₀/₁ = {₁₁ H₀|²dv}/{₁₂ H_0]²ds}.

В реальных резонаторах величина добротности обычно находится в пределах 10⁴.

На её величину большое влияние оказывает магнитная проницаемость стенок, поэтому резонаторы изготавливают из немагнитных материалов.

На этом этапе перейдём к рассмотрению эффекта отражённых волн, появляющихся в волноводе в точках нарушения его регулярности.