7)Прямоугольный волновод

Прямоугольный волновод – закрытая односвязная металлическая ЛП, представляющая собой трубу с поперечным сечением прямоугольной формы. Решение для поперечной составляющей П(x,y) ищем методом разделения: ²П(x,y)/x² + ²П(x,y)/y² + æ²П(x,y) = 0, П(x,y) = X(x) Y(y). Тогда: (1/X)(d²X/dx²) + (1/Y)(d²Y/dy²) + æ² = 0 , (1/X)(d²X/dx²)=æ²_x , (1/Y)(d²Y/dy²)=æ²_y , æ²_x+æ²_y=æ² . Решение уравнений: Х(х) = А₁cosæ_xx + A₂sinæ_xx; Y(y) = B₁cosæ_yy + B₂sinæ_yy. Рассмотрим ТМ-поле ( Е волны ). В этом случае, как было показано выше, необходимо исследовать задачу Дирихле, т.е: П_е(х,y)/_L = 0  Х(х)/_х=0,х=а = 0 , Y(y)/_y=0,y=b = 0.

Имеем: А₁ = 0 , A₂sinæ_xa=0  æ_xa=m  , B₁=0 , B₂sinæ_yb =0  æ_yb= n  ,

где m и n есть целые положительные числа ( 1,2,3…) , поскольку в случае m=0 или n=0,  П_е(х,y)  0. Таким образом получаем : П_е(х,y)=С sin (mx/a) sin (ny/b) , æ²_mn =(m/a)² + (n/b)² m , n=1,2,3… Основным типом колебаний называется тот , для которого æ²_mn имеет минимальное значение . Это означает, что: m=n=1 и æ²_min=æ²₁₁=(/a)² + (/b)² .Найдём вещественные части компонент Е и H для основного типа ТМ колебаний

( Е₁₁, или ТМ₁₁ ):

Е_ех = Re{ih(П_е/x)exp[i(hz-t)]} = (C₁h/a)cos(x/a)sin(y/b)sin(hz-t) ,

Е_еy = Re{ih(П_е/y)exp[i(hz-t)]} = (C₂h/b)sin(x/a)cos(y/b)sin(hz-t) ,

Е_еy = Re{(æ²₁₁П_е) exp[i(hz-t)]} = (C₃æ²₁₁)sin(x/a)sin(y/b)cos(hz-t) ,

H_ex = Re{-i(П_е/x)exp[i(hz-t)]}= - (C₄/b)sin(x/a)cos(y/b)sin(hz-t),

H_ex = Re{i(П_е/y)exp[i(hz-t)]} = (C₅/a)cos(x/a)sin(y/b)sin(hz-t),

H_ez = 0.

По полученным уравнениям строим силовые линии. (линии Е, линии Н)

В центре волновода линии Е переходят в продольные составляющие и идут далее вдоль оси волновода . Линии Н продольных составляющих не имеют ( в центре волновода они окружают ток смещения) .

Продольный разрез по плоскости х = а/2 показан ниже (-линии Н выходят наружу ,+ линии Н входят вовнутрь)

= 2 /h = 2 /

Рассмотрим ТЕ - поле ( Н волны ). Здесь основным типом колебаний является Н₁₀. Его компоненты :

Е_х = Е_z = H_y = 0, E_y =-C₁(/a) sin(x/a) sin(hz - t) , H_x = C₂(h/a) sin(x/a) sin(hz - t), H_z = C₃ (/a)² cos(x/a) cos(hz - t). Линии поверхностного тока волны Н₁₀:

силовые линии H₁₀. (линии Е, линии Н)

_кр= 2 / ( ).

Спектр собственных волн прямоугольного волновода ( рабочий диапазон заштрихован ) приведён на рисунке

Из представленных чертежей видно, что точки схождения и расхождения линий поверхностного тока расположены там, где напряженность электрического поля равна нулю. Физическое объяснение этого факта заключается в том, что в точках схождения и расхождения линии поверхностного тока замыкаются токами смещения, которые существуют внутри волновода. Плотность этих токов связана с напряженностью электрического поля известным соотношением J_см = ₀E/t , потому при гармонической зависимости напряженности поля от времени ток смещения максимален не там, где напряженность электрического поля достигает максимума, а в точках, отстоящих на четверть пространственного периода (т.е. на /4).