9 .Теорема о движении центра масс мех. Системы

 

 

  Доказательство

Повторим все вышеприведенные предложения; запишем  n  векторных  равенств

(основное уравнение  динамики  для  каждой  м.т.)  и сложим их.

 

И   используются эти уравнения  абсолютно  точно  так же -  то есть для решения первой  и второй  задач динамики.   Подробнее о задачах будет сказано дальше. Здесь же отметим, что записанные уравнения называются также  диф. уравнениями  поступательного движения твердого тела. 

Поступательно движущееся тело в механике рассматривается как материальная точка.

Дифференциальные. уравнения  поступательно  движущегося  тела  и  м.т.,  естественно, одинаковы.

 

 

При сложном движении твердых тел  ( в кинематике сложное движение тела рассматривается как результат сложения поступательного движения и вращательного или сферического) вышеприведенные уравнения описывают поступательную часть движения тела.

9. Движение тела переменной массы

В некоторых случаях тел связано с изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.  Произведем вывод уравнения движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за промежуток времени dt    где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда    здесь учтено, что dmdv - малое высшего порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми. Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому    или  (1)  Второе слагаемое в правой части (1) называют реактивной силой F_p. Если u противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.  Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы  (2)  которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).  Рассмотрим случай отсутвтия воздействия внешних сил на ракету. Положим в уравнении (1) F=0 и будем считать, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим    откуда    Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени стартовая масса m₀, а ее скорость ракеты равна нулю, то С = uln(m0). Следовательно,    Это соотношение называется формулой Циолковского.  Выражения (2) и (3) верны для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

10. Механическая работа — это физическая величина, являющаяся скалярной количественной мерой действия силыили сил на тело или систему, зависящая от численной величины, направления силы (сил) и от перемещения точки (точек) тела или системы

Работа силы (сил) над одной точкой

• Р абота нескольких сил определяется естественным образом как работа их равнодействующей (их векторной суммы). Поэтому дальше будем говорить об одной силе.

П ри прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к нейсилы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения^[3]:

Здесь точкой обозначено скалярное произведение^[4],   — вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила   постоянна в течение всего того времени, за которое вычисляется работа.

Если сила не постоянна, то в этом случае она вычисляется как интеграл^[5]:

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений   если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат^[6], интеграл определяется^[7] следующим образом:

,где   и   — радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.Cледствие: если направление движения тела ортогонально силе, работа (этой силы) равна нулю.

Сила называется потенциальной, если существует скалярная функция координат, известная как потенциальная энергия и обозначаемая  , такая что

Если все силы, действующие на частицу консервативны, и   является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий соответствующих каждой силе, тогда:

Э тот результат известен как сохранение механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы является постоянной относительно времени. Этот закон широко используется при решении задач классической механики.