3. Основные свойства средней арифметической величины.

Средняя арифметическая является наиболее часто используемым видом средних величин. Основные свойства средней арифметической:

1. Сумма отклонений вариант от средней арифметической величины равна нулю.

2. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений вариант от произвольно выбранного числа А.

3. Средняя арифметическая из постоянных величин равна этой постоянной величине.

4. Если каждую варианту х увеличить или уменьшить на величину А, то средняя увеличится или уменьшится на ту же величину А.

5. Если каждую варианту х увеличить или уменьшить в К раз, то и средняя увеличится или уменьшится в К раз.

6. Если при расчете средней арифметической взвешенной увеличить или уменьшить все веса в С раз, то средняя не изменится.

На использовании свойств средней арифметической основан метод моментов – способ, применяемый для упрощения расчета средней арифметической величины. Для этого необходимо:

1. уменьшить все варианты х на одно и то же число А, взяв за отсчет некоторый произвольный условный нуль;

2. полученные величины уменьшить в некоторое число раз (К);

3. из преобразованных величин вычислить условную среднюю арифметическую ;

4. умножить эту условную среднюю на К и, прибавив результат к А, получить действительное значение искомой средней .

В целом, при вычислении средней арифметической с использованием метода моментов расчетная формула будет иметь следующий вид:

Задачи для практического занятия и самостоятельного решения

Задача 1. Имеются следующие данные о квалификации рабочих двух бригад:

№ бригады	Число рабочих	Уровень квалификации каждого рабочего бригады (тарифный разряд)
I	12	4	3		4		5		2		3	6	5		3		4		4		3
II	10	2		4		5		3		4		4		2		5		6		5

Определите, в какой бригаде и насколько выше средний тарифный разряд рабочих.

Задача 2. Известны данные о выработке тканей в среднем на одного рабочего за смену по трем цехам фабрики:

№ цеха	Численность рабочих, чел.	Средняя выработка ткани за смену на одного рабочего, м
I	50	80
II	65	82
III	70	85

Рассчитайте выработку ткани на одного рабочего в среднем по фабрике.

Задача 3. Имеются данные об объемах товарных запасов на складе предприятия:

Дата	Товарные запасы, тыс. руб.	Дата	Товарные запасы, тыс. руб.
01.01.2007.	952	01.08.2007.	965
01.02.2007.	960	01.09.2007.	970
01.03.2007.	962	01.10.2007.	973
01.04.2007.	957	01.11.2007.	968
01.05.2007.	956	01.12.2007.	980
01.06.2007.	954	01.01.2008.	984
01.07.2007.	959	–	–

Вычислите средний объем товарных запасов на складе:

1. за первое полугодие 2007 года;

2. за второе полугодие 2007 года;

3. за 2007 год в целом.

Задача 4. Известны данные об объеме реализованной продукции предприятия за ряд лет:

Годы	Реализованная продукция в сопоставимых ценах, тыс. руб.
2003	251,6
2004	256,7
2005	274,8
2006	299,5
2007	311,6

Определите среднегодовой темп роста реализованной продукции.

Задача 5. При расчете средней величины из каждого варианта признака было вычтено 130. После этого каждый остаток был уменьшен в 12 раз. Из преобразованных таким образом величин была рассчитана средняя арифметическая взвешенная, причем вес каждого варианта был уменьшен в 5 раз. В результате этого средняя оказалась равной 6. Определите действительную среднюю величину этого признака.

Задача 6. В таблице приведены данные о посевной площади и об урожайности пшеницы по трем бригадам сельхозпредприятия.

№ бригады	Озимая пшеница		Яровая пшеница
	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га
I	400	20,3	100	17,0
II	500	21,6	180	18,2
III	700	22,1	220	19,4

Вычислите среднюю урожайность:

1. всей пшеницы по каждой бригаде в отдельности;

2. озимой пшеницы в целом по сельхозпредприятию;

3. яровой пшеницы в целом по сельхозпредприятию;

4. всей пшеницы по сельхозпредприятию.

Задача 7. Известны данные об уровне дневной выработки тканей рабочими фабрики.

Дневная выработка тканей, м	40-44	44-48	48-52	52-56	56-60
Число рабочих, чел.	6	14	18	8	4

Рассчитайте среднюю дневную выработку тканей на одного рабочего традиционным способом и методом моментов.