Свойство (принцип) взаимности

Если единственный в схеме источник э.д.с. E_n включенный, например, в n-ую ветвь, приводит к возникновению тока I_m в m-ой ветви, то тот же источник э.д.с. E_m = E_n, включенный в m-ую ветвь, создает в n-ой ветви ток I_n = I_m.

Взаимная проводимость любых двух ветвей определяется отношением тока в одной ветви к э.д.с. в другой, при равных нулю э.д.с. в остальных ветвях. Взаимное сопротивление двух ветвей обратно взаимной проводимости тех же ветвей.

Пример 1.24

Дано

E₁ = 2 B; E₃ = 3 B; E₄ = 9 B; R₁ = R₂ = R₄ = 6 Ом; R₃ = R₅ = 3 Ом; R₆ = 2 Ом.

Определить

используя свойство взаимности ток I₅ (рис.1.24.1).

Р ешение

Для схемы на рис.1.24.2 имеем:

Пусть ток I₅^/ = 1 А, тогда

Согласно первому закону Кирхгофа:

Тогда значение э.д.с. E₁, при воздействии которой ток I₅^/ = 1 А, равно:

Взаимная проводимость:

Для схемы на рис.1.24.3 имеем:

Пусть ток I₅^/ = 1 А, тогда

Согласно первому закону Кирхгофа:

Тогда значение э.д.с. E₃, при воздействии которой ток I₅^/ = 1 А, равно:

Взаимная проводимость:

Для схемы на рис.1.24.4 имеем:

Пусть ток I₅^/ = 1 А, тогда

Согласно первому закону Кирхгофа:

Тогда значение э.д.с. E₄, при воздействии которой ток I₅^/ = 1 А, равно:

Взаимная проводимость:

После того, как найдены взаимные проводимости, найдем соответствующие им величины токов I₅₁; I₅₃; I₅₄:

Определим истинное значение тока I₅ (рис.1.24.1):

Пример 1.25

Дано

E₁ = 24 B; E₃ = 12 B; J₆ = 2A;

R₁ = 6 Ом; R₂ = 6 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 12 Ом; R₅ = 4 Ом.

Определить

используя свойство взаимности ток I₃ (рис.1.25.1).

Р ешение

Для схемы на рис.1.25.2 имеем:

Пусть ток I₃^/ = 1 А, тогда

Согласно первому закону Кирхгофа:

Откуда

Взаимная проводимость

Для схемы на рис.1.25.3 имеем:

Пусть ток I₃^/ = 1 А, откуда

Тогда

Для схемы рис.1.25.4 имеем:

П усть U_AB = 1 В, тогда

Согласно первому закону Кирхгофа:

Коэффициент передачи тока:

После того, как найдены взаимные проводимости и коэффициент передачи, найдем истинное значение тока I₃:

Метод эквивалентного источника (генератора)

Этот метод основан на теореме об эквивалентном источнике, когда активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви может быть заменен эквивалентным источником напряжения, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода на зажимах этой ветви, а его внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника (теорема Гельмгольца-Тевенена). Активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источником тока, ток которого равен току в этой ветви, замкнутой накоротко, а внутренняя проводимость источника тока равна входной проводимости двухполюсника (теорема Нортона).

Пример 1.26

Д ано

R₀ = R₁ = R₄ = R₅ = 1 Ом; R₂ = R₃ = 2 Ом;

E₁ = 3 В; E₂ = 9 В.

Определить

методом эквивалентного источника ток I₀ рис.

1.26.1.

Решение

Преобразуем схему (рис.1.26.1) к виду, показанному на рис 1.26.2, и составим следующую систему уравнений в матричной форме:

Р аскрыв главный определитель системы получим:

Осуществив замену коэффициентов первого столбца главного определителя системы, столбцом свободных параметров получим:

По аналогии

Находим токи I₁, I₂ схемы на рис.1.26.2:

Тогда напряжение холостого хода будет равно:

Преобразование треугольника сопротивлений R₁, R₃, R₅ (рис.1.26.1) в звезду (рис.1.26.3) дает:

Тогда входное сопротивление между точками А и В:

Находим величину тока I₀: