Пример 1.14

Д аны

сопротивления резисторов R₁÷R₇, э.д.с. источников E₁÷E₃. и ток источника тока J (рис.1.14.1).

Определить

токи I₁  I₆ в ветвях.

Решение

Составим следующую систему уравнений для узлов А, В, С:

Выразим токи ветвей, через потенциалы соответствующих узлов, приняв например потенциал узла D за ноль:

Тогда, для соответствующих уравнений системы будем иметь:

Или в более компактном виде:

Полученную систему разрешают относительно потенциалов _A, _B и _С, после чего находят неизвестные токи в ветвях.

Пример 1.15

Дано

R₀ = 2 Ом; R₁ = 3 Ом; R₂ = 1 Ом; R₅ = 4 Ом; R₆ = 3 Ом; J = 2 А; E₁ = 8 В; E₂ = 4 В; E₃ = 4 В.

Определить

токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.

Решение

Электрическая цепь (рис.1.15.1) содержит идеальный источник э.д.с. E₃ с бесконечно большой проводимостью. В этом случае, следует принять потенциал узла 1 или узла 3 за ноль. Пусть потенциал узла 1 равен нулю, тогда потенциал ₃ = E₃ = 4 В. Таким образом, неизвестными остаются потенциалы ₂ и ₄.

Составим следующую систему уравнений:

Р азрешая эту систему относительно потенциалов ₂ и ₄, получим:

В; В.

Находим неизвестные токи в ветвях схемы:

Проверка

Узел 1 ;

Узел 2 ;

Узел 3 ;

Узел 4 .

Метод контурных токов

Метод основан на составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для выбранных положительных направлений протекания токов, которые замыкаются по независимым контурам схемы. Число контуров схемы определяют из уравнения:

,

где р – количество ветвей.

Направление контурного тока, как правило, задают по выбранному направлению тока в ветви, входящей только в этот контур.

Ток в ветви, по которой протекает ток только одного контура, равен этому контурному току.

В левой части уравнений записывают алгебраическую сумму всех падений напряжения на элементах от протекания по ним контурного тока рассматриваемого контура, а также падений напряжения в ветвях по которым протекают контурные токи смежных контуров, причем, последние записываются со знаком плюс, если их направление совпадает с контурным током рассматриваемого контура.

В правой части уравнений записывают все э.д.с., входящие в рассматриваемый контур со знаком плюс, если направления э.д.с. совпадают с направлением контурного тока и со знаком минус если не совпадают.

Если схема содержит источники тока, то токи источников образуют свои замкнутые контуры связи, причем в эти контуры не должны входить ветви, с выбранными направлениями других контурных токов. Если вызванные током источника падения напряжения на элементах совпадают с контурным током, то в правой части уравнений они записываются со знаком минус, если не совпадают – со знаком плюс. В общем случае уравнение для каждого контура имеет вид:

П ример 1.16 Даны

сопротивления резисторов R₁÷R₆, э.д.с. E₁÷E₄, ток источника тока J.

Определить

используя метод контурных токов, составить систему уравнений для схемы рис.1.16.1 и найти токи во всех ветвях.

Решение

Согласно сформулированным выше правилам, составим следующую систему уравнений:

Или в матричной форме:

где    полные или собственные сопротивления соответствующих контуров;

 контурные э.д.с.;

 падение напряжения на соответствующем элементе, при протекании по нему тока источника тока J.

Раскрыв, данную систему, находят контурные токи I_K1; I_K3; I_K4.

Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов и токов источников тока, протекающих по рассматриваемой ветви: I_K1 = I₁; I_K3 = I₃; I_K4 =I₄; I₂ = I_K1  I_K3; I₆ = J I_K3; I₅ = J + I_K4  I_K1.

Для проверки выполненных вычислений можно воспользоваться вторым законом Кирхгофа:

или