Пример 1.10

Дано

R₁ = 1 Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 5 Ом.

Определить

входное сопротивление схемы (рис.1.10.1) относительно точек 1 и 4.

Решение

Электрическая цепь (рис.1.10.1) эквивалентна цепи, показанной на рис.1.10.2, где R₁₂ = R₁; R₂₃ = R₂; R₃₁ = R₅; R₃₄ = R₃; R₄₂ = R₄.

В ыполним для схемы рис.1.10.2 эквивалентное преобразование треугольником в звезду. Тогда, преобразованная таким образом цепь, будет соответствовать схеме на рис.1.10.3. Параметры звезды определяются по формулам:

Тогда входное сопротивление схемы между точками 1 и 4 будет равно:

Пример 1.11 Дано

R₁ = 2,26 Ом; R₂ = 3 Ом; R₃ = 2,17 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 3 Ом; R₆ = 2 Ом.

Определить

входное сопротивление электрической цепи (рис.1.11.1) относительно точек А и В.

Решение

Э лектрическая цепь (рис.1.11.1) эквивалентна цепи, показанной на рис.1.11.2. Здесь звезда сопротивлений (R₄, R₅, R₆) преобразована в эквивалентный треугольник сопротивлений (R₄₅, R₅₆, R₆₄) соответственно. Тогда:

Входное сопротивление схемы между точками A и B найдем из выражения:

Пример 1.12

Дано

В электрической схеме рис.1.12.1 величины сопротивлений указаны в омах.

Определить

входное сопротивление схемы относительно точек А и В.

Решение

П реобразуем звезду (1,1,1) и звезду (2,2,2) в эквивалентные треугольники (11,11,11) и (22,22,22) (рис.1.12.2). Тогда получим:

(для всех трех сопротивлений);

(для всех трех сопротивлений).

Найдем сопротивление треугольника CEK относительно точек СЕ:

Найдем сопротивление треугольника АСЕ относительно точек АС:

Тогда входное сопротивление между точками АВ:

Пример 1.13 Дано

J₁ = 4,8A; J₂ = 3,5A; J₃ = 2,8A; G₁ = 0,2 1/Ом; G₂ = 0,125 1/Ом; G₃ = 0,1 1/Ом; R₄ = 50 Ом; R₅ = 50 Ом; R₆ = 20 Ом; R₇ = 50 Ом; R₈ = 25 Ом.

Определить

токи в плечах и диагонали мостовой схемы (рис.1.13.1).

Решение

Представим совокупность параллельно соединенных источников тока (J₁, J₂, J₃,) одним эквивалентным источником (J), ток которого равен алгебраической сумме внутренних токов отдельных источников, а внутренняя проводимость (G) равна алгебраической сумме их проводимостей (рис.1.13.2).

Или

.

Преобразование треугольника сопротивлений R₄, R₅, R₈ в звезду (рис.1.13.3) дает:

Найдем эквивалентное сопротивление приемника:

Найдем общее эквивалентное сопротивление схемы:

Найдем напряжение между точками (1, 3):

.

Вычислим ток I_(1,3):

.

Найдем падение напряжения между точками (1,0) и (0,3):

Определим токи через резисторы R₆ и R₇ (рис.1.13.3):

Находим значения напряжений U_(1,2) и U_(1,4) (рис.1.13.3):

Найдем величины токов I₄ и I₅, протекающих через сопротивления R₄ и R₅ (рис.1.13.1):

Определим напряжение между точками (2,4) мостовой схемы рис.1.13.1 и ток в диагонали:

Напряжение U_(2,4) имеет положительный знак, следовательно, потенциал точки (2) выше потенциала точки (4) и ток в диагонали моста протекает от узла (2) к узлу (4).

Токи I_(1,3) и I₆ можно также вычислить, используя выражения:

Метод узловых потенциалов (напряжений)

Этот метод основан на применении первого закона Кирхгофа. Составляют (q1) уравнений для потенциалов всех узлов линейной электрической схемы, при условии, что потенциал одного из узлов (базисного) принят за ноль. Здесь q – общее количество узлов. После решения составленных уравнений находят токи в ветвях согласно закону Ома.

Общее выражение имеет вид:

,

где   – собственная узловая проводимость k ого узла, или сумма проводимостей ветвей присоединенных к узлу;

 – алгебраическая сумма произведений, состоящая из проводимостей ветвей, соединяющие между собой рассматриваемые узлы, на потенциалы этих узлов;

 – алгебраическая сумма токов источников тока и токов ветвей, присоединенных к k  узлу;

 – алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, сходящихся в k ом узле, на проводимости этих ветвей.

Если э.д.с. или ток источника тока направлены к узлу, то в правой части уравнения их записывают со знаком плюс.

Метод узловых потенциалов позволяет сократить подлежащих решению число уравнений произвольной электрической цепи.