Пример 1.42

Д ано

R₁ = R₂ = R₄ = 3 Ом; R₃ = 1 Ом; R₅ = 2 Ом: E = 45 B; J = 5 А.

Определить

сигнальный граф схемы (рис.1.42.1), используя систему нормализованных уравнений, составленных по методу узловых потенциалов, вычислить ток I₅.

Решение

Система уравнений узловых потенциалов для цепи на рис.1.42.1 будет иметь вид:

Тогда систему нормализованных уравнений можно записать в виде:

где ; ; .

Узлами графа являются неизвестные потенциалы схемы на рис.1.42.1 ₁; ₂; ₃, узловые токи EG₁ = I₁₁; EG₁ + J = I₃₃, а также искомый ток I₅ = G₅₂. Следовательно, число узлов графа равно шести. Согласно полученной нормализованной системе уравнений, строим сигнальный граф (рис.1.42.2).

З десь передачи ветвей графа:

; ; ; ; ; ; ; ; ,

что собственно вытекает из нормализованной системы уравнений.

Определитель графа находим вычитанием из единицы, всех передач его контуров (граф на рис.1.42.2 имеет пять контуров):

Граф, представленный на рис.1.42.2, имеет четыре пути. Первые два пути от узла I₁₁ к узлу I₅:

P₁ = k₁₁ k₂₁(G₅); P₂ = k₁₁ k₃₁ k₂₃ (G₅) и вторые два пути от узла I₃₃ к узлу I₅: P₃ = k₃₃ k₂₃(G₅); P₄ = k₃₃ k₁₃ k₂₁ (G₅).

Алгебраические дополнения, равные величине определителя части графа, не касающейся соответствующего пути, будут равны: ₁ = 1; ₂ = 1; ₃ = 1; ₄ = 1. Тогда, передачи для первых двух и вторых двух путей:

; .

Или

; .

Откуда

Аналогичный результат можно получить, если воспользоваться приемом объединения источников сигнала графа. В этом случае один из сигналов источника принимают за базисный. Пусть в нашем случае базисным будет сигнал источника I₃₃ = EG₁ + J = T = (450,333) + 5 = 10. Тогда будут справедливы следующие равенства:

и .

Откуда находим передачу k₃₃^/ от источника Т к узлу ₃:

.

Аналогично находим передачу k₁₁^/ от источника Т к узлу ₁:

.

Таким образом, мы получили возможность объединить два источника сигналов I₃₃ и I₁₁ графа на рис.1.42.2 в один источник Т с соответствующими передачами к узлам ₃ и ₁. Такой граф показан на рис.1.42.3. Находим передачи всех путей от источника Т к узлу I₅:

P₁ = k₁₁^/ k₂₁ (G₅); P₂ = k₁₁^/ k₃₁ k₂₃ (G₅); P₃ = k₃₃^/ k₂₃ (G₅); P₄ = k₃₃^/ k₁₃ k₂₁ (G₅), причем, как и в первом случае ₁ = 1; ₂ = 1; ₃ = 1; ₄ = 1. Тогда, передача графа:

Откуда

.

Графы и формула Мезона во многих случаях позволяют находить искомые величины, не прибегая к решению системы уравнений, описывающих состояние электрической цепи.

Расчет магнитных цепей Пример 1.43

Дано

М агнитопровод с воздушным зазором на рис.1.43.1,а (размеры указаны в миллиметрах). Кривая намагничивания рис.1.43.1,б.

Определить

1. Найти м.д.с. (F), необходимую для создания магнитного потока Ф = 4,510^4 Вб в воздушном зазоре (поток считать одинаковым во всех стержнях магнитопровода, потоками рассеяния пренебречь); ток намагничивающей обмотки, если число витков w = 400.

2 . Найти магнитную индукцию В в воздушном зазоре при Iw = 250 А.

Решение

Поперечное сечение (S₁) магнитопровода равно:

S₁ = 0,020,03 = 610^4 м².

Поперечное сечение (S₂) магнитопровода равно:

S₂ = S_ = 0,010,03 = 310^4 м².

Длина участков магнитной цепи системы равна: l₁ = 0,21 м; l₂ = 0,08 м.

1. Ищем индукцию В₁:

Т.

Индукция В₂ и индукция В_ в воздушном зазоре:

Т.

По известным значениям индукций В₁ и В₂ ищем напряженность поля на участках l₁ и l₂ согласно кривой намагничивания рис.1.43.1,б:

Н₁  165 А/м; Н₂  2400 А/м.

Рассчитаем напряженность поля в воздушном зазоре:

А/м.

Находим падение магнитного напряжения вдоль всей магнитной цепи:

Следовательно, ток в намагничивающей обмотке:

А.

2. Зададимся значениями индукции в магнитном зазоре В_, равными, например, 0,4; 0,75; 1,2; 1,5 Т, и занесем их в таблицу. Аналогичными будут и значения индукции В₂. Значения индукции В₁ будут в два раза меньше, поскольку сечение магнитопровода S₁ в два раза больше, чем S₂.

Соответствующие величины напряженности поля в воздушном зазоре находим из выражения с занесением полученных результатов в табл.1.43. Значения напряженности Н₂ и Н₁ находим из кривой намагничивания на рис.1.43.1,б.

Согласно выражению ищем соответствующие магнитные потоки с занесением вычислений в табл.1.43.

Таблица 1.43

В (Т)	0,4	0,75	1,2	1,5
В2 (Т)	0,4	0,75	1,2	1,5
В1 (Т)	0,2	0,375	0,6	0,75
Н (А/м)	3,2105	6105	9,6105	12105
Н2 (А/м)	56	165	560	2400
Н1 (А/м)	24	51	133	165
Hklk (A)	41,5	84	168,7	346,7
Ф (Вб)	1,210-4	2,2510-4	3,610-4	4,510-4

Строим кривую зависимости Ф(Н_k l_k) на рис.1.43.2. Из построенной зависимости для Iw = 250 А находим магнитный поток Ф  4,210^4 Вб. Тогда, магнитная индукция в воздушном зазоре:

Т.

Пример 1.44

Дано

Разветвленная магнитная цепь с воздушным зазором на рис.1.44.1,а (размеры указаны в миллиметрах). Кривая намагничивания на рис.1.44.1,б.

Определить

1. Найти м.д.с. (F) если магнитный поток Ф₃ = 3,610^4 Вб.

2. Найти магнитную индукцию во всех участках магнитной цепи если м.д.с F = Iw = 200 A.

Решение

1. Поперечные сечения соответствующих участков магнитопровода:

м²; м².

Длины участков магнитной цепи магнитопровода и величина воздушного зазора:

м; м; м; м.

Составим систему уравнений для магнитной цепи на рис.1.44.1,а:

Р ассчитаем магнитные напряжения Н₃l₃ и Н_. Находим магнитную индукцию в третьем стержне:

Из кривой намагничивания (рис.1.44.1,б) находим величину напряженности магнитного поля на участке l₃:

А/м.

Тогда магнитное напряжение на участке l₃:

А.

Найдем напряженность поля в воздушном зазоре:

А/м.

Тогда

А.

Из третьего уравнения системы найдем магнитное напряжение Н₂ l₂:

А.

Откуда

А/м.

Из кривой намагничивания находим магнитную индукцию участка l₂:

Т.

Тогда

Вб.

Магнитный поток Ф₁ найдем из первого уравнения системы:

Вб.

Рассчитаем магнитную индукцию участка l₁:

Т.

Из кривой намагничивания находим величину напряженности магнитного поля на участке l₁:

А/м.

Определим магнитное напряжение на участке l₁:

А.

Из второго уравнения системы находим искомую м.д.с.:

А,

где .

2. Составим эквивалентную схему замещения магнитной цепи на рис.1.44.2.

С огласно эквивалентной схеме замещения запишем следующую систему уравнений:

Для решения этой системы уравнений необходимо построить характеристики всех участков магнитной цепи:

; ; ,

где U_Mab – магнитное напряжение между узлами а и b.

Зададимся рядом значений магнитных потоков Ф₁, Ф₂, Ф₃ и найдем соответствующие индукции на различных участках:

; ; ; .

Напряженность поля на соответствующих участках находим по кривой намагничивания (рис.1.44.1,б). Напряженность поля в воздушном зазоре находим из выражения Н_ = В_/₀. Заданные значения магнитных потоков, а также все последующие вычисления заносим в табл.1.44.

По данным таблицы строим соответствующие кривые Ф₁(U_Mab), Ф₂(U_Mab) и Ф₃(U_Mab) рис.1.44.3.

П оскольку магнитные потоки должны удовлетворять первому закону Кирхгофа (первое уравнение системы), то суммируя ординаты кривых Ф₂(U_Mab) и Ф₃(U_Mab) по соответствующим значениям магнитного напряжения U_Mab, строим еще одну кривую (Ф₂ + Ф₃)(U_Mab) на рис.1.44.3. Точка пересечения кривых (Ф₂+Ф₃)(U_Mab) и Ф₁(U_Mab) определяет магнитный поток Ф₁ = 11,810^4 Вб, что собственно следует из соотношений:

и .

Проведя из этой точки прямую линию (показана пунктиром) параллельную оси ординат, получим точки пересечений этой линии с кривыми Ф₂(U_Mab) и Ф₃(U_Mab). Полученные точки пересечений, определяют потоки Ф₂ = 9,810^4 Вб и Ф₃ = 2,010^4 Вб. После чего находим магнитные индукции:

Т; Т; Т.

Осуществим проверку полученных величин магнитных потоков. Проверяем значение магнитного потока Ф₂:

А.

По кривой намагничивания (рис.1.44.1,б) ищем индукцию Т. Тогда магнитный поток Вб.

Проверяем значение магнитного потока Ф₁:

А.

По кривой намагничивания (рис.1.44.1,б) ищем индукцию  Т. Тогда магнитный поток  Вб.

Проверяем значение магнитного потока Ф₃:

А.

По кривой намагничивания (рис.1.44.1,б) ищем индукцию  Т. Тогда магнитный поток  Вб.

Сравнивая результаты, убеждаемся в хорошем их совпадении.