Пример 1.37

Дано

З адан граф электрической цепи на рис.1.37.1.

Определить

матрицу контурных сопротивлений.

Решение

Запишем контурную матрицу для заданного графа:

.

Матрица сопротивлений ветвей, при отсутствии взаимной связи ветвей, будет диагональной:

,

где Z₁,…, Z₆ – собственные сопротивления ветвей, в состав которых могут входить активные и реактивные линейные сопротивления. Матрица сопротивлений ветвей всегда квадратная.

Находим произведение матрицы сопротивлений ветвей Z_В и транспонированной контурной матрицы В^Т:

.

После того как найдено произведение матрицы сопротивлений ветвей и транспонированной контурной матрицы, можем определить матрицу контурных сопротивлений:

= .

Таким образом, матричное произведение BZ_BB^T определяет матрицу контурных сопротивлений Z_K.

Пример 1.38

Дано

Э лектрическая цепь (рис.1.38.1) содержит индуктивные Z_L, емкостные Z_С, активные R сопротивления, а также сопротивления взаимной индукции Z_М.

Определить

матрицу сопротивлений ветвей, контурную матрицу и матрицу контурных сопротивлений.

Решение

Электрическая цепь (рис.1.38.1) содержит ветви, в состав которых входят несколько последовательно соединенных элементов различного характера, включая индуктивные связи ветвей. В целях придания матрице более упорядоченного вида пронумеруем сначала все индуктивные элементы, емкостные и резистивные элементы. Тогда сложные ветви будут распадаться на простые, содержащие по одному элементу, с появлением устранимых узлов. Следовательно, число ветвей (порядок матрицы) станет равным числу элементов. Составим и заполним следующую таблицу с учетом принятой нумерации простых ветвей.

ветви	1	2	3	4	5	6	7	8
1	ZL1	–ZM12	0	0	0	0	0	0
2	–ZM12	ZL2	ZM23	0	0	0	0	0
3	0	ZM23	ZL3	0	0	0	0	0
4	0	0	0	ZC4	0	0	0	0
5	0	0	0	0	ZC5	0	0	0
6	0	0	0	0	0	R6	0	0
7	0	0	0	0	0	0	R7	0
8	0	0	0	0	0	0	0	R8

Согласно заполненной таблице матрица сопротивлений имеет вид:

,

или

,

где ;

;

.

Подматрицы Z_C и R всегда диагональные, а матрица Z_LM будет симметричной. Сложная матрица сопротивлений Z_B в этом случае будет диагональной в независимости от наличия индуктивных связей.

Увеличение числа узлов, вследствие распада сложных ветвей на простые, не приводит к увеличению числа контуров (неизвестных контурных токов). Тогда применяя метод контурных токов, получим контурную матрицу:

.

Найдем произведение матрицы сопротивлений Z_B и транспонированной контурной матрицы В^Т:

.

Находим матрицу контурных сопротивлений:

=

= .