Метод компенсации

Этот метод основан на принципе компенсации, когда по схеме приращений определяют приращение тока в цепи вследствие изменения сопротивления ветви . Схема приращений образуется исключением источников энергии в исходной схеме и включением в ветвь последовательно с новым сопротивлением источника напряжения , направленного встречно первоначальному току в этой ветви.

Пример 1.31

Дано

I₃ = 3 А; R ₃ = 2 Ом; R₁ = 3 Ом; R₂ = 2 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 0,5 Ом.

Определить

приращение тока I₃, если сопротивление в этой ветви изменилось на R₃ = 1 Ом.

Решение

С оставим схему приращения (рис.1.31.2), из которой найдем ток I₃:

Здесь

Метод компенсации зачастую применяют при определении чувствительности (S) электрической цепи к изменению параметров ее элементов:

Выясним, каким величинам будут соответствовать приращение тока I₃ и чувствительность S цепи на рис.1.31.1, в случае, когда приращение сопротивления потенциометра R₃ стремится к нулю (R₃ 0) и когда стремиться к бесконечности (R₃ ). Перейдя к пределам, для приращения тока I₃ можем записать:

где

Соответственно для чувствительности S будем иметь:

Пример 1.32

Д ано

С₁ = 1010^-6 Ф; С₂ = 2010^-6 Ф; С₃ = 4010^-6 Ф; С₄ = 2510^-6 Ф; С₅ = 510^-6 Ф; С₆ = 5010^-6 Ф; E₃ = 50 B; E₆ = 100 B.

Определить

заряды и напряжения на ёмкостных элементах, используя законы Кирхгофа.

Решение

Для схемы на рис.1.32.1 составим следующую систему уравнений:

где – заряды.

Или в матричной форме:

Раскрыв главный определитель системы, будем иметь:

.

Осуществив замену первого столбца главного определителя матицей-столбцом свободных параметров, получим:

.

Определим заряд и напряжение на конденсатора С₁:

Выполнив замену второго столбца главного определителя матицей-столбцом свободных параметров, получим:

.

Определим заряд и напряжение на конденсатора С₂:

Произведя замену третьего столбца главного определителя матицей-столбцом свободных параметров, получим:

.

Определим заряд и напряжение на конденсатора С₄:

Находим заряды и напряжения на остальных емкостных элементах:

Проверка

Проверку можно осуществить, подставив вычисленные значения зарядов в исходные уравнения системы, либо с помощью второго закона Кирхгофа. Воспользуемся вторым законом Кирхгофа, обходя соответствующий контур электрической цепи рис.1.32.1:

Если в первоначальной системе уравнений положить Q₄ = Q₆ – Q₁, то можно получить систему уравнений в контурных зарядах:

Топологические методы расчета электрических схем Пример 1.33

Дано

На рис.1.33.1,а приведена схема электрической цепи, направленный граф которой с пронумерованными узлами и ветвями изображен на рис.1.33.1,б. Ориентации ветвей будем считать совпадающими с положительными направлениями токов в ветвях.

Определить

Для графа на рис.1.33.1,б составить полную узловую матрицу.

Решение

В такой матрице число столбцов соответствует числу ветвей графа, а число строк соответствует числу его узлов. Составим и заполним таблицу согласно следующим правилам:

–  если соответствующая ветвь графа направлена от рассматриваемого узла, то в клетку пересечения их нумераций вписывается положительная единица;

– если соответствующая ветвь графа направлена к рассматриваемому узлу, то в клетку пересечения их нумераций вписывается отрицательная единица;

– если соответствующая ветвь графа не связана с рассматриваемым узлом, то в клетку пересечения их нумераций вписывается ноль.

		ветви
		1	2	3	4	5	6
узлы	1	+1	0	0	1	0	-1
	2	-1	+1	0	0	+1	0
	3	0	-1	-1	0	0	+1
	4	0	0	+1	-1	-1	0

Согласно заполненной таблице запишем полную узловую матрицу:

,

которая и определяет схему электрической цепи.

Из матрицы А_П следует, что сумма чисел в любом столбце равна нулю, отчего одна из ее строк является зависимой, поэтому матрицу А_П можно заменить просто матрицей А путем вычеркивания любой строки из матрицы А_П. Узел, из которого исключается строка, принято называть базисным. У графа такой узел обозначается через ноль.