12. Случайные величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Вероятностная (переменная) величина. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет с определенной вероятностью одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от причин, которые заранее не могут быть учтены. Переменную величину, значения которой жестко предопределены (детерминированы) вполне определенной причиной называют неслучайной переменной величиной, или полностью регулярной переменной. Дискретной (прерывной) случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(X) = x1 p1+ x2 p2+...+ xn pn. Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M(X). Однако эту характеристику можно оценить. В качестве оценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M(X) ≈`X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка.

13. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1)Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).

3) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z).

4) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y*Z) = M(X)*M(Y)*M(Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.

14. Отклонение случайной величины.

15. Дисперсия дискретной случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X - M ( X ))² . Для вычислений удобнее пользоваться формулой : D ( X ) = M ( X ² ) - ( M ( X )) ².

16. Свойства дисперсии дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величены равна, т.е. если С постоянная величена, то

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но возводя его при этом в квадрат, т.е. если k – постоянный множитель, то

3.Если все значения случайной величены увеличить или уменьшить на одно и то же число С, то дисперсия не изменится

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е

6. Дисперсия случайной величены равна ожиданию квадрата ее без квадрата ее математического ожидания,т.е.