15. Критерій Дарбіна – Уотсона. Області прийняття dw

Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше застосовується критерій Дарбіна — Уотсона (DW):

(8.12)

Він може набувати значеннь з проміжку [0, 4]:

Якщо залишки є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При до­датній автокореляції DW < 2, при від’ємній — DW > 2. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при різному числі спостережень n і числі незалежних змінних m для вибраного рівня значущості . Табличні значення мають нижню межу DW₁ і верхню — DW₂.

Коли DWфакт < DW₁, то залишки мають автокореляцію. Якщо Dwфакт > DW₂, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW₁ <DW< DW₂, то конкретних висновків зробити не можна: необхідно далі провадити дослідження, беручи більшу сукупність спостережень. Зауважимо, що цей критерій призначений для малих вибіркових сукупностей.

Вибірковий розподіл значень критерію Дарбіна — Уотсона залежить від емпіричних спостережень пояснювальних змінних і навіть якщо взяти до уваги цю обставину, можна стверджувати: параметр  для генеральної сукупності має тісний зв’язок з критерієм DW. Якщо  = 1, то значення DW = 0, при  = 0 DW = 2 і при  = –1 значення критерію DW = 4. Наведені співвідношення показують, що існують області, в яких застосування критерію Дарбіна — Уотсона не може дати певних результатів, про що вже було сказано.

16. Тестування гетероскедастичності залишків

Параметричний тест Гольдфельда — Квандта

Зауваження. 1. Цей тест застосовується до великих вибірок. 2. Тест припускає нормальний розподіл і незалежність випадкових величин и..

1-й крок:

спостереження (вихідні дані) впорядкувати відповідно до величини елементів вектора х., який може спричинити зміну дисперсії залишків.

2-й крок:

відкинути спостережень, які розміщені всередині векторів вихідних даних

3-й крок:

побудувати дві моделі на основі звичайного МНК за двома створеними сукупностями спостережень обсягом за умови, що де т - кількість змінних.

4-й крок:

знайти суму квадратів залишків S1 і S2 за першою і другою моделями:

де щ і и2 - залишки відповідно за першою і другою моделями.

5-й крок:

розрахувати критерій який у разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме розподілу з

ступенями свободи;

значення критерію f порівняти з табличним значенням F-критерію при вибраному рівні значущості а і відповідних ступенях свободи;

Зауваження: чим більше значення Ґ, тим більша гетероскедастичність залишків.

17. Метод Ейткена

Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена)

О ператор оцінювання УМНК можна записати так:

де Ω^-1-матриця, обернена до дисперсійно-коваріаційної матриці залишків Ω.

Н а практиці для розрахунку ρ використовується співвідношення

Або

18. Узагальнений метод найменших квадратів Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скористатися узагальненим методом найменших квадратів. Розглянемо цей метод.

Нехай задано економетричну модель коли .

Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора А в моделі. Для цього використовується матриця S, за допомогою якої коригується вихідна інформація. Ця ідея була покладена в основу методу Ейткена.

Базуючись на особливостях матриць Р і S, які були розглянуті в підрозд. 7.3, можна записати співвідношення між цими матрицями та оберненими до них.

Оскільки S — додатно визначена матриця, то вона може бути зображена як добуток , де матриця P є невиродженою, тобто: , коли ; .

Помноживши рівняння ліворуч на матрицю , дістанемо: .

Позначимо ; ; .

Тоді модель матиме вигляд: .

Звідси: .

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора А, який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій

Hезміщену оцінку для дисперсії можна дістати так:

Оцінка параметрів , яку знайдено за допомогою, є оцінкою узагальненого методу найменших квадратів (методу Ейткена).

При заданій матриці S оцінку параметрів моделі можна обчислити згід­но із (7.7), а стандартну помилку — згідно із (7.8). Тому можна сконструю­вати звичайні критерії значущості і довірчі інтервали для параметрів .

Визначивши залишки і помноживши ліворуч на матрицю , дістанемо: , або .

Звідси .

Тоді .

Оскільки ,

то

Отже, ми розбили загальну суму квадратів для на суму квадратів регресії і залишкову. Згідно з цими даними дисперсійний аналіз буде виконано для перетворених вихідних даних. Крім того, коли незалежна змінна виміряна відносно початку відліку, а не у формі відхилення від середньої, то необхідно визначити її середнє значення і скористатись ним для корекції загальної суми квадратів і суми квадратів регресії.

Модель узагальненого методу найменших квадратів іноді специфі­кується у вигляді

де — відома симетрична додатно визначена матриця. Тоді вираз для оцінки параметрів згідно з методом Ейткена запишеться так: ,а для її коваріаційної матриці .