Выход однородно легированного монокристалла

Если бы весь кристалл был однородно легирован на заданном уровне , то количество примеси перешедшей в кристалл равно:

– начальный объем расплава

– объем закристаллизовавшегося расплава

В реальности мы имеем количество примеси в однородно легированной части кристалла объемом :

(108%)

2-ой случай K_min=K=0,014

Находим g соответствующей концентрации примеси С_тв = С_max

7,5·10¹⁹ = 5·10¹⁹·(1-g)^0,014-1; g = 0,338

(50%)

Семинар №4 Структура реальных кристаллов.

Задача №1

Дано:

Материал GaSb

Температура плавления

Тпл=985 К

Равновесная концентрация

Вакансий в п/решетке Sb

При Т=Т_пл

N_v(1)=1,13*10¹¹ см^-3

При T=g T_пл

g = 0,70

Найти:

Концентрацию избыточных

вакансий при T= 0,7 Т_пл

в монокристалле, полученном

кристаллизацией из расплава.

Решение:

Изменение термодинамического потенциала монокристалла при возникновении n вакансий в результате повышения температуры.

ΔG = ΔGреал – Gид = ΔH – TΔS

ΔG, ΔGид – термодинамич. потенциал реального и идеального кристалла соотв.

ΔH = n ΔH_v

ΔH_v – прирост энтальпии кристалла за счет образования одной вакансии.

ΔS = ΔS_см + ΔS_кол

ΔS_см, ΔS_кол – изменение энтропии смещения и колебания соотв.

ΔS_см = k ln( W’/W)

W’,W – вероятность состояний при наличии и отсутствии вакансий соответственно в идеальном кристалле W = 1

Пусть кристалл содержит N_s (в каждом из которых при 0 К находится атом). Далее, при образовании n вакансий общее число узлов (состояний)

равно (N + n )

ΔS_см = k ln W’ = k ln = - k ( N ln + n ln ;

ΔS_кол = n ΔS_v

ΔS_v – изменение колебательной энтропии при введении в кристалл 1 вакансии.

ΔG = n(ΔH_v – TΔS) + kT ( n ln + n ln

Абсолютная величина ΔH_v положительна, так же как ΔS_v , но | ΔS_кол | < | ΔH_v | в 6-8 раз. Можно пренебречь ролью ΔS_v . Если учесь, что энтропия смешения (конфигурационная) уменьшается с ростом n, а энтальпия увеличивается. Так же как n << N ln .

+ N = N_s ,ΔS_v - пренебрегаем

= N_s exp ( ) равновесная концентрация вакансий при температуре Т

Находим с помощью и .

= ; ;

= ;

k – константа Больцмана.

R – универсальная газовая постоянная 8,31

N_A – число Авогадро ( 6*10²³ ат/моль)

Зная и (или ) можно найти равновесную концентрацию вакансий при любой

температуре T = gT_пл . В нашем случае расчет не требуется, так как g = 0,7.

Избыточная концентрация вакансий возникает при быстром охлаждении м/кристалла от температуры Т=Т_пл до Т=gТ, когда концентрация вакансий не успевает прийти к равновесному значению. Чтобы концентрации вакансий была равновесной при каждой температуре необходимо бесконечно медленное охлаждение от Т=Т_пл .

Избыточные вакансии приводят к образованию дивакансий и дислокаций.

Задача №2

Дано:

выращивание м/кристалла методом Чохральского.

Материал GaSb

Плоский фронт кристаллизации

Осевой температурный градиент в области пластической деформации dT/dZ = 80 град/см.

Температура плавления Т_пл = 985 К.

Охлаждение монокристалла от Т_пл до T=0,7 Т_пл

Все избыточные вакансии равномерно поглощаются дислокациями.

Равновесная концентрация вакансий в п/решетке Sb

при Т=Т_пл

= 1,13*10¹¹ см^-3;

при T=g Т_пл

= 1,53*10⁵ см^-3;

Равновесная концентрация вакансий в п/решетке Ga

при Т=Т_пл

= 3,21*10¹² см^-3;

при T=g Т_пл

= 2,64*10⁷ см^-3;

g = 0,7

Все дислокации краевые, ось дислокации совпадает с направлением , а вектор Бюргерса с [1;1;0], т.е. перпендикулярен оси.

Плоскость скольжения (001)

Период решетки GaSb a=0,609593 нм = 0,609593*10^-7 см.

Коэффициент линейного расширения

Найти:

1. Плотность дислокаций в монокристалле, выращенном методом Чохральского.

2. Расстояние на которое переползет дислокация при охлаждении монокристалла от Т=Т_пл до Т=0,7Т_пл

Решение:

Источниками дислокаций могут быть термические напряжения в кристалле. В монокристаллах термические напряжения вызваны наличием осевых и радиальных температурных градиентов. В монокристалле с плоским фронтом кристаллизации радиальной градиент (dT/dR) → 0.

Приближенно плотность дислокаций, вызванная термическим напряжением равна

b – вектор Бюргерса ( модуль)

b =

a – период решетки;

x,y,z – кристаллические индексы направления вектора Бюргерса, n – целое число.

В алмазной решетке min энергии обладает дислокация с вектором Бюргерса ½ <110>

Модуль вектора Бюргерса:

Для алмазной решетки полная дислокация с символом имеет длину

|b| =

При охлаждении кристалла, образующиеся избыточные вакансии поглощаются дислокациями, что вызывает их переползание. Необходимо оценить концентрацию избыточных вакансий в обоих подрешетках.

В п/решетке Ga

В п/решетке Ga

Общее количество вакансий в кристалле:

Дислокации движутся по плоскостям наименее густо засеянными атомами (100)

Следовательно

,

где l – расстояние (в см) на которое переползет дислокация.

З адача №3

Дано:

направленная кристаллизация

Материал Ge

Примесь Bi

Концентрация примеси

в

Z

тв. фазе

С_тв = const.

Коэф. диффузии

примеси в жидкой фазе

D= 1*10^-5 см²/с

Скорость кристаллизации

f = 100 мм/час = 10/3600 см/час.

Температура

Т

Z

=1123 К

Концентрация примеси в расплаве

С_ж (0) = 0,10 ат.доли

Газовая постоянная

R=8,31 Дж/моль*К

Энтальпия плавления примеси

Найти:

величину температурного градиента

в расплаве, исключающего явление

концентрационного переохлаждения

Z

Дифференциальное уравнение молекулярной диффузии в расплаве:

; t – время

Рассмотрим стационарный процесс

(1)

В стационарных условиях ( Z_пер – расстояние, которое необходимо пройти ф.к. до наступления стационарного состояния) :

Решая уравнение (1) получим

(2);

Уравнение (2) описывает распределение примести в расплаве у фронта кристаллизации.

Область кристаллизации определяется соотношением градиентов температуры в расплаве и температуры ликвидуса

обусловлен накоплением примеси в расплаве у ф.к. Расплав с повешенной концентрацией примеси в соответствии с диаграммой фазовых равновесий

( при k₀ < 1) будет кристаллизоваться при более высокой температуре.

, т.е. , получим неустойчивый ф.к. ( )

, т.е. , получим устойчивый ф.к. ( ).

При неустойчивом фронте кристаллизации наблюдается явление концентрационного переохлаждения (заштрихованная область)

(3)

Зависимость температуры от концентрации примеси в расплаве

(4)

П

одставим из ур (2), m – наклон ликвидуса.

Дифференцируем

Для предотвращения концентрационного переохлаждения:

(4)

(5)

(4) – (5)

Нахождение линии наклона ликвидуса:

Из выражения (4) вычитаем (5):

Пусть кристаллизуется чистый компонент Ge, С_тв (Bi) стремится к нулю. Приближенно С_тв = const.

Температуру T₁ возьмем равной Т + 5K, T₂ = T - 5K;

; k₀ = 0.28 ( в приближении идеального раствора)