9. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин,

Часто искомые величины получают путем вычислений по измерен­ным величинам, поэтому возникает необходимость оценивать точность функций измеренных величин. Возьмем линейную функцию, полагая, что все измерения независи­мы (ошибки измерений не коррелированы). Подставим вместо х точное значение X, получим точное значение функции Ц=кХ+с.. Найдем истинную ошибку функции и~Ц =к(х-Х), Аи=кАх.. При п измерениях получим. Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим и разделим на л, получим. По определению средней квадратической ошибки. Рассмотрим функцию с двумя переменными. Рассуждая аналогично получим [/= кгХ+ к2У+с, Аи= А/Ддг+ к2Ау. При п измерениях получим &и/~ к1АХ}+ к2Ау/, Аи2= Л/Дх2+ к2Ау2г Ащ =к}Ахп+ к2Ауф. По свойству случайных ошибок. В результате получимг^и^к2,™2, +к27т2у. (22). Аналогичными рассуждениями можно обосновать формулу для оценки точности функции многих переменных Ш. А;х7+ км... + Ъг„ +с. (23) Д«= */ДХ;+ А^АХ;... + кА^я +С. (24) т2и=к2,т21 +к22т22... к?пт2п. (25) IV. Для алгебраической суммы

и=±х /±х2± • •. ±хл+ с, (26) формула (25) примет вид

-да/ + да/+...+т/. (27)

В случае равноточных измерений, когда т;=т2= ...= т„ - т, полу­чим

/Яы = 0!^/*, (28)

т.е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы п равно­точных слагаемых в 4п раз больше средней квадратической ошибки

одного слагаемого.

V. Функция общего вида

и^(хи хъ ... Хп). (29)

Найдем полный дифференциал функции

аи = -^~Ох1 + -^А2+... + -^шгя. дхх дх2 дхп

Из математики известно, что для аргумента сЬс и Ах равнозначны и при малых значениях Ах можно принять сЬ щ Аи. Поэтому

Дм = —Ах. + — Ах, + ... + — Дхя, дх, _ дхг дх„. Здесь частные производные , М_ и т.д. представляют собой постоянные коэффициенты, которые можно вычислить по измеренным значениям аргументов. Заменяя их через А/, Л* ... кп получим равенство вида (24) и по аналогии с (25) найдем. Эта формула является основой, другие, из приведенных выше, можно рассматривать как частный случай

10 Среднее арифметическое значение и его свойства

Средняя квад-ратическоя ошибка арифметического среднего. Если одна и та же величина измерена с одинаковой точностью не­сколько раз, то за окончательное значение измеренной величины берут среднее арифметическое, определяемое по формуле. Для упрощения вычислений обычно вводят приближенное значение /о, вычисляют остатки $=7,-4? и пользуются формулой. Формула (32) легко получается из (31) путем замены /,=/0+г/. Среднее арифметическое из результатов равноточных измерений обладает следующими свойствами. 1. С увеличением числа измерений п арифметическая средина имеет тенденцию стремиться к точному значению величины X. Доказательство. Пусть сделано п измерений. Тогда Сложим и разделим на п. Получим

По свойству случайных ошибок

*гр.Х\тп^т — = 0. п

Следовательно, Ь стремится к X.

2. Если среднее арифметическое образовано из результатов измере­ний свободных от систематических ошибок, то и само оно не содержит их. И наоборот. При отсутствии систематических ошибок математиче­ское ожидание среднего арифметического равно точному значению

измеренной величины.

Для нахождения средней квадратической ошибки среднего арифме­тического, которое запишем в виде

применим формулу. Поскольку измерения равноточны

Следовательно

Таким образом, средняя квадратическая ошибка среднего арифме­тического из п равноточных измерений в раз меньше ошибки од­ного измерения.