7. Понятие о законах распределения ошибок.

Свойства случайных ошибок являются проявлением закона их рас­пределения. В общем случае закон распределения ошибок отражает связь между размером ошибки и вероятностью ее появления. Распределение случайных ошибок измерений наиболее точно опи­сывается законом нормального распределения. Плотность нормального распределения выражается формулой где <х - среднее квадратическое отклонение случайной ошибки. График функции (3) называется кривой нормального распределе­ния, или кривой Гаусса (рис. 1.3). Эта кривая имеет симметричную колоколообразную форму. За­штрихованная площадь представляет собой вероятность появления ошибки в интервале от А до Д+с/Д. Есть ошибки, которые подчиняются закону равномерного или рав­новероятного распределения, к примеру, ошибки округления. Плот­ность распределения их выражается формулой. Основными характеристиками распределения случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием X дискретной случайной величины х называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на соот­ветствующие им вероятности. Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения Л*) математическое ожидание. Дисперсией случайной величины X называется число, определяемое п° формуле Положительное значение квадратного корня из дисперсии называ­ют стандартом или средним квадратическим отклонением. Для случайных ошибок измерений, как уже отмечалось, математи­ческое ожидание равно нулю.

8. Числовые характеристики точности измерений.

В качестве теоретической характеристики точности измерений обычно пользуются средним квадратическим отклонением о. Посколь­ку величина а не известна, практически пользуются ее приближенным значением - средней квадратической ошибкой, определяемой по фор­муле, где Аь Аг, Д„- истинные ошибки измерений. При большом значении. При ограниченном числе измерений величина т будет характер изо» вать величину а с некоторой ошибкой. Для оценки точности определе­ния самой средней квадратической ошибки существует формула. Оценку точности измерений характеризуют также предельной ошибкой, вычисляемой по формуле, где г - коэффициент, значение которого принимают таким, чтобы была мала вероятность появления ошибки больше предельной. Обычно для т принимают значения 3, 2,5. или 2. Этим значениям т соответствуют вероятности 0,003, 0,012, 0,046. Другими словами, на каждую тысячу измерений число ошибок, превосходящих по абсолют­ной величине предельную Дч,=3от, 2,5от, 2т в среднем приблизительно равно соответственно 3,12,46.В дальнейшем при решении задач по оценке точности измерений будем пользоваться формулой.Для оценки точности иногда пользуются средней ошибкой V и веро­ятной ошибкой г. Средняя ошибка вычисляется по формуле. При нормальном распределении она связана со средней квадрати­ческой ошибкой примерным соотношением. Если все ошибки расположить в ряд по возрастанию абсолютных значений, то ошибка оказавшаяся в середине ряда будет вероятной. Со средней квадратической ошибкой она связана соотношением. Ошибка, выраженная в единицах измерения, называется абсолют­ной. Отношение ее к измеренной величине.