50.Понятие о параметриче­ском способе уравнивания.

Пусть измерено п величин. Получены значения ..., c весами соответственно ...

Пусть выбраны необходимые неизвестные (параметры), уравненное значение которых обозначим через х, у, .....w.

Между уравненным значе­нием измеренной величины и искомыми неизвестными всегда можно найти связы­вающую их функцию

К примеру, в треугольнике измерены все три угла , и . Выберем в качестве необхо­димых углы а и /3 и обозна­чим их уравненное значение через х и у. Тогда для каждого измерения.можно составить функцию

Запишем в таком виде

Найдем х, у, ..., w при условии [pv2 ] = min. Если функция F, нелинейная, то ее нужно привести к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора. Для этого предста­вим уравненные значения неизвестных в следующем виде

х = Хо+дх,

У=Уо+ду,

. W = W0+ дw.

Здесь х0, у0, ...w0 - приближен­ные, однако близкие к точным значения параметров, а дх, ду, ..., Sw - поправки к ним.

При разложении (13) в ряд получим

их запишем

Полученное уравнение называют параметрическим уравнением поправок. Частные производные ai bi ... gi вычисляют по приближенным значениям параметров х0, у о, ...w(). Общее число уравнений поправок равно числу измеренных величин п. Искомыми неизвестными в данном случае будут дх, ду, ..... dw.

Исходя из принципа наи­меньших квадратов и = [pv2] = min, найдем частные производные и приравняем их к нулю

[paa]Sx + [pab]dy +... + [pag]Sw + [pal] = 0.

получим

систему нормальных уравне­ний

В этой системе число уравне­ний равно числу неизвестных. Решив ее, найдем поправки к приближенным значениям параметров. Затем по фор­муле (14) и сами параметры. Поправки к измеренным величинам найдутся по формуле (15).

Параметрическим способом уравнивают обширные сети триангуляции и трилатера­ции, линейно-угловые и комбинированные построе­ния. При этом в качестве измеренных величин могут быть: длины сторон; дирек­ционные углы; углы (чаще всего углы между смежными направлениями); направле­ния.

Для уравнивания измеренных сторон, дирекционных углов и углов в качестве неизвест­ных выбирают координаты определяемых пунктов.

Если уравниваются направле­ния, то кроме координат в качестве неизвестных выбирают еще «ориентирую­щие углы»

(дирекционные углы нулевых направлений на пункте).

54. Решение нормальных уравнений по способу Гаусса.

При уравнивании измерений коррелатным и параметрическим спо­собами решают системы нормальных уравнений.Одним из наиболее эффективных и широко распространенных спо­собов решения нормальных уравнений является способ Гаусса, кото­рый состоит в последовательном исключении из уравнений всех неиз­вестных. Суть его в следующем. Выражают первое неизвестное из пер­вого уравнения и подставляют во все остальные. В результате будет получена эквивалентная система, в которой на одно уравнение меньше. Из первого уравнения эквивалентной системы выражают второе неиз­вестное и подставляют во все остальные. Получают следующую экви­валентную систему и т. д. В результате остается одно эквивалентное уравнение с последним неизвестным. Вычислив последнее неизвест­ное, подставляют его в предыдущее уравнение, находят предпоследнее неизвестное и т. д.

Покажем это в более общем виде на примере системы из к нор­мальных уравнений, составленных при уравнивании равноточных из­мерений параметрическим способом.

[ая ]<&, + [ab]Sx₂ + [ас]дх_ъ +... + [ag]8x_k + [al] = 0 [bb]&₂ + [bc]Sx, +... + [bg]&_k + [Ы] = 0 [cc]Sx,+... + [cg]ac_k+[cl] = Q

• (21)

[«g]&_t+[g/]=o|

При последовательном исключении неизвестных эквивалентная

система будет иметь вид

[аа]дх_х + [аЬ]5х₂ + [ас]5х, +... + [ag}3c_k + [al] = Ol [bb ■ \]Sx₂ + [be • 1]&, +... + [bg ■ \}Sx_k + [Ы • 1] = 0

[cc ■ 2]&₃ +... + [eg ■ 2)&c_k + [el ■ 2] = 0\. (22)

[gg-(k-\)}Sx_i+[gl.(k-\)) = 0\Ее получение называют прямым ходом решения. Неизвестные, на­чиная с последнего, вычисляют из так называемых элиминационных уравнений, получаемых из системы (22) делением на квадратичные

коэффициенты.