4.Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Частные случаи динамической теоремы Кориолиса.

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

Уравнение второго основного закона динамики для абсолютного движения точки массой m имеет вид

где a – абсолютное ускорение точки;

Fi – силы, действующие на точку, включая реакции связей.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма трех ускорений: переносного aпер , относительного aотн и кориолисова aкор , т.е.

Подставляя это выражение в (7.1), получим

или

Введем в рассмотрение два вектора

и назовем их переносной и кориолисовой силами инерции. Подставим эти векторы в уравнение (7.2):

Уравнение (7.3) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки. В случае равномерного и поступательного переносного движения Фпер= 0 , Фкор= 0 и уравнение (7.3) ничем не отличается от уравнения (7.1). Во всех инерциальных системах отсчета уравнение движения точки записывается одинаково. В этом заключается принцип относительности классической механики.

Проецируя уравнение (7.3) на оси подвижной декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки

Дифференциальные уравнения относительного движения отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения наличием в правой части уравнений проекций на соответствующие оси переносной и кориолисовой сил инерции.

Рассмотрим частные случаи относительного движения материальной точки:

1) если подвижная система отсчета движется поступательно, то Фкор= 0 , так как ωпер= 0, и уравнение относительного движения примет вид

maотн = ΣFi + Фпер ; (7.5)

2) если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее aотн= 0 , Vотн= 0 и, следовательно, Фкор= 0 . Тогда уравнение (7.3) примет вид

ΣFi + Фпер = 0. (7.6)

Уравнение (7.6) представляет собой уравнение относительного покоя точки.

5.Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел.

Угловая скорость вращения Земли вокруг Солнца (2π радиан в год) настолько мала, что связанные с ней силы инерции не играют существенной роли в ходе процессов, происходящих на Земле. В то же время угловая скорость суточного вращения Земли примерно в 365 раз больше угловой скорости ее годового вращения. Поэтому при составлении уравнения движения тела в системе отсчета, связанной с Землей нужно учитывать не только ньютоновские силы (F), но и все силы инерции (центробежные и кориолисовы). В то же время часто при грубых количественных оценках характеристик некоторых явлений можно пренебречь и силами инерции, вызываемыми суточным вращением Земли, а систему координат, связанную с Землей, считать приблизительно инерциальной.

Таким образом, в соответствии с проведенными выше рассуждениями сила Кориолиса проявляется при движении по поверхности земного шара благодаря суточному вращению Земли.

В системе отсчета, связанной с Землей, поворот плоскости качаний маятника объясняется действием силы Кориолиса. На полюсе скорость маятника ′при большой длине его подвеса можно считать перпендикулярной вектору угловой скорости вращения Земли ω. Сила Кориолиса в соответствии с формулой []К2,Fm′=ωперпендикулярна плоскости качаний маятника и по правилу буравчика направлена вправо по отношению к относительной скорости движения маятника. Поскольку сила Кориолиса никакой другой силой не уравновешивается, то в результате ее действия и происходит поворот плоскости качаний маятника. Траектория движения маятника будет иметь вид розетки (рис. 5.17). Если маятник установлен на определенной широте ϕ, то в этом случае его плоскость качаний повернется за сутки на угол 2sinπϕ. Таким образом, опыт с маятником Фуко экспериментально подтверждает, что система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной системой отсчета.

Сила Кориолиса, которая действует на тело, движущееся с относительной скоростью ′вдоль меридиана, направлена по отношению к этой скорости вправо в северном полушарии и влево — в южном (рис. 5.18, а). Если тело движется в плоскости экватора с запада на восток, то сила Кориолиса направлена вертикально вверх, при движении тела с востока на запад она направлена вертикально вниз (рис. 5.18, б). Сила Кориолиса равна нулю, если тело движется на экваторе в плоскости меридиана, потому что векторы ωи ′параллельны. Примером влияния сил Кориолиса на движение тел у поверхности земного шара является также отклонение свободно падающих тел к востоку (рис. 5.18, в).

Большую роль играют кориолисовы силы в метеорологических явлениях. Так, отклоняющее влияние кориолисовой силы заставляет мощное океаническое течение Гольфстрим, выходящее из Мексиканского залива через Флоридский

6.Механическая система (МС). Классификация сил, действующих на МС: силы внешние и внутренние, задаваемые (активные) и реакции связей. Свойства внутренних сил.

7.Масса механической системы. Центр масс системы и его координаты.

8.Моменты инерции системы и твердого тела относительно плоскости, оси и полюса. Радиус инерции.

9.Центробежные моменты инерции. Главные оси инерции. Тензор инерции.

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Главные оси инерции

Кроме указанного выше единственного случая, осевые момен­ты инерции в нуль не обращаются и всегда положительны. Что же касается центробежных моментов инерции, то они могут быть поло­жительными, отрицательными и принимать нулевые значения. Если два центробежных момента инерции, содержащие в обозначениях об­щий индекс некоторой оси, равны нулю, то эта ось называется глав­ной осью инерции тела (в точке пересечения осей). Например, если имеем Jxz = Jyz = 0, то ось z является главной осью инерции в точ­ке О (начале координат). Если равны нулю все три центробежных момента инерции, то все три оси являются главными.

Существует теорема, которая устанавливает, что в каждой точ­ке тела можно найти как минимум три главные оси инерции. Глав­ные оси, построенные в центре масс тела, называются главными цен­тральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции.

Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:

Где J — тензор инерции,w— угловая скорость,L— момент импульса