Гіпербола

Означення. Канонічним рівнянням гіперболи називаються рівняння

(1)

Ця крива розміщена симетрично відносно осей х та у. Початок координат є центром симетрії гіперболи. З рівняння

випливає, що .

1. Гіпербола утворена двома вітками, які містяться в області

.

 Справді, з рівняння (1) маємо:

.

Область, в якій розміщені вітки гіперболи, обмежені прямими	(2)
,
які називаються асимптотами гіперболи.

З рівняння

бачимо, що узростає зі зростанням х при (рис. 3.46).

Рис. 3.46

2. Розглянемо вітку гіперболи, яка визначається рівнянням

,

і доведемо, що при ця вітка наближається до асимптоти з рівнянням .

 Справді, маємо такі співвідношення:

.

Багато властивостей гіперболи аналогічні властивостям еліпса.

Означення. Пряма, що проходить через центр симетрії гіперболи, називається її діаметром. Центри всіх хорд гіперболи, що мають рівняння

,

лежать на діаметрі гіперболи, який подається рівнянням .

Діаметри гіперболи

(3)

називаються спряженими. Хорди гіперболи, паралельні одному й тому самому діаметру, поділяються спряженим діаметром пополам. Якщо дотична до гіперболи паралельна деякому діаметру, то спряжений діаметр проходить через точку дотику.

Рівняння дотичної до гіперболи в точці М₀(х₀, у₀) подається у вигляді

. (4)

3. Знайдемо ексцентриситет гіперболи, скориставшись рівнянням (1). Для цього візьмемо

.

Остаточно при маємо:

,

або

(5)

З найдемо ексцентриситет гіперболи

.

 Маємо: . 

4. Доведемо фокальну властивість гіперболи, яка може використовуватися для означення гіперболи.

Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Відстань між фокусами дорівнює 2с. Проведемо вісь х через фокуси і припустимо, що вісь у поділяє відрізок між фокусами пополам (рис. 3.47).

Рис. 3.47

Візьмемо

або

. (6)

Тут знак «+» для правої вітки гіперболи, а знак «–» — для лівої.

Перетворимо це рівняння гіперболи, позбавившись від ірраціональності:

Отже,

(7)

Звідси:

Остаточно:

Роблячи заміну , дістаємо відоме канонічне рівняння гіперболи.

Рівняння (7) можна подати у вигляді

(8)

Знак «+» відповідає правій вітці гіперболи, знак «–» — лівій.

5. Доведемо, що прямі є директрисами гіперболи (рис. 3.48).

Рис. 3.48

Для довільної точки на правій вітці гіперболи М(х, у) маємо:

.

Обчислюємо відношення фокальних радіусів до відстаней директрис:

.

Ці відношення сталі і дорівнюють ексцентриситету. Це й доводить, що прямі є директрисами.

Д ано рівняння директрис гіперболи , відстані між фокусами якої дорівнюють 10. Записати канонічне рівняння гіперболи.

 З рівностей знаходимо , а далі записуємо рівняння . 

Поверхні другого порядку

Розглянемо геометричні образи алгебраїчних рівнянь другого порядку в просторовій декартовій системі координат.

Еліпсоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

(2.35)

називається еліпсоїдом.

Рис. 2.25

Для встановлення геометричного образу рівняння (2.35) скористаємось перерізами, паралельними площині . Кожен з наших перерізів визначається площиною , де — будь-яке число, а лінія, яка утворюється в перерізі, визначається системою рівнянь:

Дослідимо цю систему залежно від . Якщо > с, то, оскільки с > 0, дістаємо . У такому разі система рівнянь визначає уявний еліпс, тобто точок перетину еліпсоїда (2.35) з площиною не існує. Якщо , то лінія перетину вироджується в точки (0; 0; –с), (0, 0, –с), тобто площини дотикаються до еліпсоїда. Нарешті, якщо , то досліджувану систему рівняння можна подати у вигляді

Перше рівняння визначає еліпс, півосі якого змінюються залежно від . При у перетині еліпсоїда площиною маємо найбільший еліпс.

Таким чином, проведений аналіз дозволяє зобразити геометричний образ еліпсоїда як замкненої овальної поверхні (рис. 2.25).

Однопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням:

(2.36)

називається однопорожнинним гіперболоїдом.

Для встановлення геометричного образу цієї поверхні зробимо перерізи її координатними площинами і . Дістанемо дві системи

і

Рис. 2.26

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.

При перетині гіперболоїда площиною дістанемо лінії, що визначають еліпси

Якщо маємо найменший еліпс при перетині гіперболоїда площиною , якщо h необмежено зростає, то півосі еліпса зростають до нескінченності. Однопорожнинний гіперболоїд зображено на рис. 2.26.

Двопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

, (2.37)

називається двопорожнинним гіперболоїдом.

При перерізі його координатними площинами Оxz i Oyz дістанемо рівняння:

і

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.

Розглянемо перерізи гіперболоїда площинами дослідивши систему:

Аналіз цих рівнянь показує, що при лінії перетину немає, при площина дотикається до гіперболоїда, при лінією перетину буде еліпс. Вигляд поверхні зображено на рис. 2.27.

Рис. 2.27

Рис. 2.28

Еліптичний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

(2.38)

називається еліптичним параболоїдом.

При перетині еліптичного параболоїда координатними площинами дістанемо лінії, що записуються рівняннями

і ,

з яких випливає, що ці лінії — параболи.

При перерізах параболоїда площинами маємо:

, що відповідає еліпсам при Еліптичний параболоїд зображено на рис. 2.28.

Гіперболічний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в пря­мокутній системі координат визначається рівнянням

(2.39)

називається гіперболічним параболоїдом.

Встановимо геометричний вигляд поверхні (2.39). У перетині параболоїда координатною площиною маємо тобто в перетині дістаємо параболу. Її вітки спрямовані вгору, вона симетрична відносно осі . У перетині параболоїда площи­нами також утворюються параболи

Якщо січні площини мають рівняння , то маємо і вітки парабол перетину площини з параболоїдом спрямовані вниз, а їхні вершини розміщені на параболах

Розглянемо, нарешті, перетини параболоїда площинами . Нехай маємо

Із цих рівнянь випливає, що при у перетині дістанемо гіперболи, що перетинають площину , а при — гіперболи, що перетинають площину . З аналізу ліній перетину гіперболічного параболоїда відповідними площинами випливає, що він має вигляд, зображений на рис. 2.29.

Рис. 2.29

Рис. 2.30

Конус другого порядку. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат описується рівнянням називається конусом другого порядку.

У перетині поверхні площинами і одержуємо пари прямих, які є твірними конічної поверхні.

Якщо розглянути перетини поверхні площинами , то маєм тобто еліпси.

Аналіз перетинів дає змогу побудувати поверхню, зображену на рис. 2.30.