Парабола

Означення: Канонічним рівнянням параболи називається рівняння виду

(1)

Ця крива розміщена симетрично відносно осі х, оскільки заміна у на –у в її рівнянні не змінює його. Точка О перетину осі симетрії з параболою називається вершиною параболи (рис. 3.41).

Рис. 3.41

Ексцентристет параболи дорівнює одиниці, а тому . Важливою є так звана оптична властивість параболи, яка полягає в тому, що всі промені, паралельні осі х, після відбиття параболи потрапляють у її фокус F (рис. 3.42).

Рис. 3.42

Візьмемо довільну точку М(х, у) на параболі і проведемо дотичну в точці М. Кутовий коефіцієнт дотичної визначається так:

.

Доведемо, що кут падіння  променя на дотичну дорівнює куту його відбиття . Достатньо довести, що

тобто або .

Згідно з рис. 3.42 маємо:

Це й доводить оптичну властивість параболи.

З найдемо координати фокуса параболи

 Беручи

дістанемо рівняння параболи виду (1)

Оскільки , то фокус F має координати . Отже, знаходимо координати фокуса



Еліпс

Означення. Канонічним рівнянням еліпса називається рівняння

(1)

Осі координат є осями симетрії еліпса, оскільки рівняння (1) не змінюється в результаті заміни х на –х або у на –у. Початок координат є центром симетрії еліпса. Точки перетину еліпса його осями симетрії називаються вершинами еліпса (рис. 3.43).

Рис. 3.43

1. Увесь еліпс міститься всередині прямокутника .

 Справді, із рівняння (1) випливають нерівності:

2. Форму еліпса можна чітко уявити, довівши, що еліпс утворюється з кола стискуванням вздовж однієї з його осей.

 Справді, стиснемо коло

уздовж осі у заміною змінної:

(2)

При цьому дістанемо рівняння

що є рівнянням еліпса:

.

Відомо, що в колі діаметр, перпендикулярний до хорди, поділяє її пополам. Окрім того, діаметр, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної. При стискуванні кола зберігається така властивість: діаметр еліпса, проведений у точку дотику до нього деякої прямої, поділяє пополам усі хорди, паралельні дотичній. Якщо

являють рівняння діаметра і хорд, які ділять цим діаметром пополам, то при перетворенні координат (2) дістанемо взаємно перпендикулярні прямі

Отже, виконується рівність

. (3)

Діаметр еліпса , називається спряженим до діаметра . Він поділяє пополам усі хорди еліпса, що подаються рівнянням .

Візьмемо на еліпсі довільну точку М₀(х₀, у₀) і проведемо в цій точці дотичну до еліпса. Діаметр, що виходить з точки дотику, має кутовий коефіцієнт . Тому кутовий коефіцієнт k₂ дотичної подається згідно з (3):

.

Рівняння дотичної набирає вигляду

або

.

Остаточно знаходимо рівняння дотичної до еліпса:	((4)
.

Коли відомі а та b, можемо знайти ексцентриситет  еліпса.

Введемо параметр за формулою

(5)

З рівняння (5) при знаходимо значення с:

Отже,

(6)

3. Доведемо фокальну властивість еліпса, яку можна також взяти за означення еліпса.

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Відстань між фокусами дорівнює 2с. Нехай вісь х проходить через фокуси, а вісь у поділяє відрізок між фокусами пополам (рис. 3.44).

Рис. 3.44

Нехай М(х, у) — довільна точка на еліпсі, причому

або

(7)

Звільнимося від ірраціональності в рівнянні

піднісши обидві його частини до квадрата:

Звідси маємо:

(8)

Виконаємо перетворення:

(9)

Оскільки , то рівняння (9) збігається з рівнянням еліпса (1).

Рівняння (8) можна записати у вигляді

4. Прямі, задані рівняннями

є директрисами еліпса (рис. 3.45).

Рис. 3.45

 Справді, з рис. 3.45 знаходимо відстані до директрис:

Далі визначаємо відношення фокальних радіусів r₁, r₂ до директрис:

Ці відношення, як бачимо, дорівнюють ексцентриситету .

З найти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що .

 Маємо рівняння

з яких визначаємо а = 5. Рівняння еліпса подається так:

