
- •1. Понятие информации
- •2. Классификация и виды информационных технологий
- •3. История, состояние и перспективы развития вычислительной техники
- •4. Элементная база, архитектура компьютера
- •5. Состав и назначение пк. Виды компьютеров
- •6. Операционные системы
- •7. Языки и технологии программирования.
- •8.Процедурное, функциональное, объективно-ориентированное и логическое програмирование
- •9. Интегрированные пакеты
- •9. Пакет msOffice. Состав и назначение основных компонентов
- •10. Текстовый процессор ms Word. Набор и редактирование текста
- •10. Графический редактор ms Visio. Графические шаблоны
- •11. Табличный процессор ms Excel. Состав и структура документа
- •11. Табличный процессор ms Excel. Вычислительные возможности
- •12. Система подготовки презентации ms PowerPoint
- •13.Семиуровневая модель структуры протоколов связи
- •14. Компьютерные сети
- •15.Организационная структура Internet
- •16. Протоколы Internet (tcp и udp)
- •17. Основные сервисы Internet (dns, ftp, http, snmp, pop3, sntp)
- •18. Структура данных, модели данных, создание базы данных и таблиц
- •19. Системы управления базами данных
- •20. Базы данных Access, Oracle, MySql
- •21. Основы языка sql
- •22. Организационно-технические, правовые, криптографические и стеганографические методы защиты информации в компьютерных системах
- •23. Простейшие алгоритмы шифрования
- •24. Арифметика целых чисел и полей Галуа
- •25. Стандарт шифрования данных des
- •26. Электронная подпись
- •27. Математические модели
- •28. Системы математических вычислений. MathCad, MatLab
- •29. Численное Интегрирование и дифференцирование
- •30. Метод Рунге–Кутта
- •31. Методы теории вероятностей и математической статистики
- •32. Метод Монте-Карло
- •33. Методы минимизации функций одной переменных
- •34. Методы минимизации функций нескольких переменных
- •35. Задача линейного программирования
- •36. Поиск кратчайших путей
- •37. Принятие решений при многих критериях
- •1 Выбор Парето-оптимальных решений
- •2 Методы на основе компенсации критериев
- •3 Методика экспресс-анализа альтернатив
- •4 Методика скаляризации векторных оценок
- •38. Метод анализа иерархий
- •39. Методы поддержки принятия решений
- •1 Методика сравнительной оценки двух альтернатив по степени доминирования
- •2 Модифицированный алгоритм Кемени-Снелла
- •3 Алгоритм Саати
- •4 Метод электра
- •40. Экспертные системы
33. Методы минимизации функций одной переменных
Здесь рассматривается простейшая математическая модель оптимизации, в которой целевая функция зависит от одной переменной, а допустимым множеством является отрезок вещественной оси:
F(x) min, (1)
х a b.
Как уже отмечалось, максимизация целевой функции (f (x) max) эквивалентна минимизации противоположной величины (–f (x) min), поэтому мы будем рассматривать только задачи минимизации.
К математическим задачам вида (1) приводят прикладные задачи оптимизации с одной управляемой переменной. Кроме того, необходимость в минимизации функций одной переменной возникает при реализации некоторых методов решения более сложных задач оптимизации.
Классический метод минимизации.
Шаг
1. Решить уравнение
на интервале х (а; b),
т.е. найти все стационарные точки x1, ..,
xk–1
(а; b). Положить x0 = а, xk = b.
Шаг 2. Вычислить значения f (х) функции f (х) в точках xi, i = 0, .., k.
Шаг
3. Найти
.
Положить х* = xm .
Для решения задачи минимизации функции f (х) на отрезке [а; b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решение этой задачи с необходимой точностью в результате определения конечного числа значений функции f (х) и ее производных в некоторых точках отрезка [а; b]. Методы, использующие только значения функции и не требующие вычисления ее производных, называются прямыми методами минимизации.
Большим достоинством прямых методов является то, что от целевой функции не требуется дифференцируемости и, более того, она может быть не задана в аналитическом виде. Единственное, на чем основаны алгоритмы прямых методов минимизации, это возможность определения значений f (х) в заданных точках.
Рассмотрим наиболее распространенные на практике прямые методы поиска точки минимума. Самым слабым требованием на функцию f (х), позволяющим использовать эти методы, является ее унимодальность. Поэтому далее будем считать функцию f (х) унимодальной на отрезке [а; b].
Метод перебора или равномерного поиска является простейшим из прямых методов минимизации и состоит в следующем.
Разобьем отрезок [а; b] на п равных частей точками деления xi = а + i(b – а)/п, i = 0, .., n. Вычислив значения f (х) в точках xi, путем сравнения найдем точку xm , 0 т п, для которой
(2)
Далее,
положим
.
Методы исключения отрезков
В методе перебора, рассмотренном выше, точки xi, в которых определяются значения f (x), выбирают заранее. Если же для выбора очередной точки вычисления (измерения) f (x) использовать информацию, содержащуюся в уже найденных значениях f (x), то поиск точки минимума можно сделать более эффективным, т.е. сократить число определяемых для этого значений f (x), как, например, в методе поразрядного поиска.
На один из путей такого более эффективного поиска точки х* указывает свойство 3 унимодальных функций).
Пусть
а < x1<х2<b. Сравнив значения f (x) в
точках x1 и х2 (пробных точках), можно
сократить отрезок поиска точки х *,
перейдя к отрезку [а; х2], если
или к отрезку m [x1; b] если
.
Описанную процедуру можно повторить
необходимое число раз, последовательно
уменьшая отрезок, содержащий точку
минимума. Когда длина последнего из
найденных отрезков станет достаточно
малой, следует положить
,
где
– одна из точек этого отрезка, например,
его середина. Методы минимизации,
основанные на этом принципе, называются
методами исключения отрезков.
Первый метод деления отрезка пополам (дихотомии).
Шаг
1. Определить x1 и х2 по формулам
, где
> 0 – малое число.. Вычислить f (x1) и
f (x2).
Шаг 2. Сравнить f (x1) и f (x2). Если , то перейти к отрезку [а; x2], положив b = x2 , иначе – к отрезку [x1; b], положив а = x1 .
Шаг
3. Найти достигнутую точность
Если
,
то перейти к следующей итерации,
вернувшись к шагу 1. Если
,
то завершить поиск х*, перейдя к шагу
4.
Шаг
4. Положить
.
Метод золотого сечения.
Шаг
1. Найти х1 и х2 по формулам
.
Вычислить f (x1) и f (x2). Положить
,
.
Шаг 2. Проверка на окончание поиска: если n > , то перейти к шагу 3, иначе – к шагу 4.
Шаг 3. Переход к новому отрезку и новым пробным точкам. Если f (x1) f (x2) то положить b=x2 , x2=x1 , f (x2) f (x1), x1=b–(b–a) и вычислить f (x1), иначе – положить a=x1, x1= x2 , f (x1) = f (x2), x2=b+(b–a) и вычислить f (x2). Положить n = n и перейти к шагу 2.
Шаг
4. Окончание поиска: положить
,
.
Метод парабол
Шаг 1. Выбрать точки x1, x2, x3, удовлетворяющие условиям х1 < х2 < х3 , f (x1) f (x2) f (x3). Перейти к шагу 2.
Шаг
2. Найти
по формуле
.
На первой итерации перейти к шагу 4, на
остальных – к шагу 3.
Шаг
3. Проверка на окончание поиска. Сравнить
модуль разности значений
на
данной и предыдущей итерациях
с числом .
Если ||
,
то поиск завершить, полагая х*
,
f *
f (x), иначе – перейти к шагу 4.
Шаг 4. Вычислить значение f ( ). Перейти к шагу 5.
Шаг 5. Определить новую тройку чисел x1, x2, x3. Присвоить f (x1), f (x2) и f (x3) соответствующие значения f (x) найденные ранее. Перейти к шагу 2.